¿Qué se considera un modelo estándar de aritmética?

Question

En mi investigación hasta ahora, he encontrado que el canónico El modelo estándar de aritmética es $\mathbb{N}$ bajo las operaciones de suma y multiplicación. Sin embargo, no he podido encontrar mucho sobre otro modelo estándar de aritmética.

Es $\mathbb{N}$ el único modelo estándar de aritmética, o hay otros? Intuyo que $\mathbb{Q}$ bajo adición y $\mathbb{R}$ bajo la adición y la multiplicación son modelos estándar, pero todavía no he encontrado ningún soporte para esto. ¿Es un modelo o bien estándar o no estándar, o hay un punto intermedio en el que cosas como $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ ¿Iría? Si hay más de uno, ¿qué es lo que define precisamente un modelo estándar de aritmética?

Answer 1

Existe un modelo estándar de aritmética: cualquier modelo de los axiomas de Peano + el axioma de segundo orden de la inducción. Dos modelos cualesquiera son isomorfos (hecho conocido como la categoricidad de la teoría). Los modelos estándar de la aritmética son precisamente estos modelos.

La historia es similar para los reales. Cualquier modelo de los axiomas de un campo completo ordenado es un modelo estándar de los reales. Cualquiera de estos modelos es isomorfo, por lo que, de nuevo, la teoría es categórica.

A la luz de esto, para obtener modelos no estándar hay que relajar algunos de los axiomas (para cada teoría). Los modelos no estándar de la aritmética son básicamente modelos de los axiomas de Peano + los axiomas del esquema de inducción (un axioma por cada frase relevante, por lo que hay un número contable de axiomas, pero todos son de primer orden). Cualquier modelo de este tipo que no sea isomorfo al modelo estándar de la aritmética se llama modelo no estándar. Hay muchos modelos de este tipo sólo en virtud del teorema de Lowenheim-Skolem + la teoría de la compacidad: Hay un modelo no estándar de cualquier cardinalidad infinita. Así que hay muchos modelos no isomórficos de aritmética no estándar.

Algo similar ocurre con los modelos no estándar de los reales. También cabe mencionar que los modelos también pueden construirse utilizando ultrapoderes y todas las construcciones se basan en alguna forma del axioma de elección. Además, históricamente, los modelos no estándar aparecieron en la lógica a través del teorema de Lowenheim-Skolem, e hicieron su aparición seria en las matemáticas (más) convencionales (al menos en ese momento) en el trabajo de Robinson sobre el análisis no estándar.

Answer 2

Los números naturales ordinarios, bajo la suma y la multiplicación habituales, son un modelo estándar de aritmética. Cualquier modelo que no sea isomorfo a éstos se denomina no estándar. La convención habitual en lógica es que por $\mathbb{N}$ nos referimos a los números $0,1,2,\dots$ .

Hemos dejado el término aritmética indefinido. Uno suele tener en mente una teoría particular, como la aritmética de Peano de primer orden. O quizás la teoría cuyos axiomas son todas las sentencias del lenguaje habitual de la aritmética que son verdaderas en $\mathbb{N}$ . Es una teoría incomparablemente más fuerte que la aritmética de Peano de primer orden.

El término aritmética puede ser confuso aquí. La palabra tiene muchos significados. En particular, es un término anticuado para referirse a la teoría de los números. Eso es lo que aritmética significa cuando nos referimos a modelos no estándar de aritmética.

Observación: Las estructuras $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ En el marco de las operaciones habituales, son no modelos de aritmética. Para ver esto, dejemos $\varphi$ sea la frase $\forall x(\lnot(x=0)\longrightarrow \exists y(xy=1))$ . Entonces $\varphi$ es falso en $\mathbb{N}$ pero verdadero en $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ . Hay muchas otras frases similares.