Si $(ab)^n=a^nb^n$ entonces $(aba^{-1}b^{-1})^{n^2-n}=e$

Question

Estaba tratando de probar esa declaración de la respuesta del Residente Dementor, a saber:

Podemos demostrar que si para un número entero $n$ y cada $a,b\in G$ , $(ab)^n=a^nb^n$ entonces $$(aba^{-1}b^{-1})^{n(n-1)}=e$$ La prueba es fácil. De hecho, $$(aba^{-1}b^{-1})^{n^2}=[(aba^{-1}b^{-1})^n]^n=[a^n(ba^{-1}b^{-1})^n]^n=...=a^nb^na^{-n}b^{-n}\\\ (aba^{-1}b^{-1})^{n}=(ab)^n(a^{-1}b^{-1})^n=a^nb^na^{-n}b^{-n}$$

Sólo he podido entender las dos primeras igualdades y he intentado hacer diferentes métodos pero sin resultados. ¿Puede alguien demostrar una prueba detallada, por favor?

Answer 1

$$[a^n(ba^{-1}b^{-1})^n]^n$$ $$=[a^nba^{-n}b^{-1}]^n$$ $$=[a^nba^{-n}]^nb^{-n}$$ $$=a^nb^na^{-n}b^{-n}$$