En primer lugar, la simetría crucial que debe satisfacer es la Simetría de Poincaré por lo que su lagrangiano debería ser un escalar de Lorentz y ser invariante de traslación. Por supuesto, hay simetrías gauge como ya has mencionado en la pregunta.
Aparte de eso, necesitas tener las dimensiones apropiadas para tu Lagrangiano, y los parámetros (constantes de acoplamiento) deben ser adimensionales, de lo contrario puedes añadir operadores de orden superior de los campos. Sólo querrás hacer algo así si trabajas en teorías efectivas como la teoría de perturbación quiral de mesones y hadrones.
Así, si se está en 4 dimensiones, la acción funcional del Lagrangiano del Modelo Estándar sería de la siguiente forma: $$ S = \int \mathrm{d}^4x \; \mathcal{L}_{\text{SM}} $$ donde asumo que el espacio-tiempo es efectivamente plano, es decir, la métrica de Minkowski. La acción tiene dimensiones de $\hbar$ .
Por lo tanto, es necesario que las dimensiones de la densidad lagrangiana sean $\left[\mathrm{GeV}\right]^4$ , si se pone $\hbar=c=1$ debido al elemento de volumen que tiene dimensiones de $\left[\mathrm{GeV}\right]^{-4}$ . Si se comparan los términos cinéticos de sus campos, tendrían las siguientes dimensiones: \begin{eqnarray} \tag{Higgs} \phi &\rightarrow & \left[\mathrm{GeV}\right]^1 \\ \tag{Fermions} \psi &\rightarrow & \left[\mathrm{GeV}\right]^{3/2} \\ \tag{Vector bosons} A_\mu^a &\rightarrow & \left[\mathrm{GeV}\right]^1 \\ \end{eqnarray} ya que las derivadas son $\left[\mathrm{GeV}\right]^1$ y las constantes de acoplamiento $g$ son $\left[\mathrm{GeV}\right]^0$ es decir, sin dimensiones.
Así que, para conseguir $\left[\mathrm{GeV}\right]^4$ operadores en la densidad lagrangiana, sólo se podrían escribir los siguientes términos:
- segundas derivadas de campos bosónicos (o primera derivada con campos cuadráticos), $$ \partial_\mu \phi^\dagger \partial^\mu \phi \\ \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu \\ A^\mu A_ \nu \partial_\mu A_\nu $$
- primera derivada de los campos fermiónicos, $$ \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi $$
- cuarta potencia de los campos bosónicos $$ (\phi^\dagger \phi )^2 \\ (A^\mu A^\nu)^2 $$
- Interacciones Yukawa de un escalar y fermiones $$ \phi \bar{\psi} \psi $$
- acoplamientos escalares-vectoriales $$ \phi^\dagger \phi A_\mu A^\mu $$ donde he omitido algunos índices y conjugados.
Todos estos términos pueden tener una constante de acoplamiento adimensional. Sin embargo, en el Modelo Estándar, asumimos que los términos cinéticos están normalizados y los términos de interacción tienen sus constantes de acoplamiento como parámetros libres. Por otro lado, en las teorías supersimétricas, las constantes de acoplamiento se hacen iguales para los supercompañeros.
Como puedes ver, no hay muchos términos que puedas añadir a partir de los campos que tienes. Además, el Lagrangiano del Modelo Estándar es todo lo que puedes escribir para quarks y leptones de 3 familias, un doblete de Higgs y $SU\left(3\right)\otimes SU\left(2\right) \otimes U\left(1\right)$ bosones gauge.
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Las únicas dos constantes dimensionales en nuestra comprensión de la naturaleza son el $M_{\text{Pl}}$ La masa de Planck (o la constante gravitacional de Newton) y el valor esperado en el vacío del campo de Higgs (o la masa de Higgs). Si añades otra constante dimensional, significa que has introducido otra escala en la teoría que todavía no se ve en la naturaleza.
