Prueba de funciones hiperbólicas

Question

Encuentra la prueba:

(a) Utilizar las definiciones

cosh(x)= 1/2(ex +e^x) , sinh(x)= 1/2(e^x e^x)

para expresar sinh(x + y) y cosh(x + y) en términos de cosh(x), sinh(x), cosh(y) y sinh(y).

(b) Utilizando los resultados de la parte (a) demuestre que

sinh(x + 1) sinh(x) = (1 + cosh 1) sinh(x) + sinh 1 cosh(x)

cosh(x + 1) cosh(x) = (1 + cosh 1) cosh(x) + sinh 1 sinh(x)

Considerando que la respuesta de la parte (a) es sinh(x+y) = sinh(x)cosh(x) +cosh(x)sinh(y) y cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y) +sinh(x)sinh(y)

(c) Utiliza el resultado de la parte (b) para expresar las siguientes sumas

Cn =cosh0+cosh1+cosh2+---coshn ** **Sn =sinh0+sinh1+sinh2+···sinhn

en términos de sólo cosh(n + 1), sinh(n + 1) y cosh 1 (y posiblemente algunos números como 1, 2, etc.).

*** Teniendo en cuenta que sé cómo mostrar las partes a y b ¿cómo se puede mostrar el resultado a la parte (C)?

Answer 1

Exactamente. Usted subsititute $y=1$ en el compuesto $\cosh$ identidad y a partir de ahí todo debería ser fácil.

Para la parte (c),

Reacomodar $\sinh(x + 1) − \sinh(x) = \left(−1 + \cosh(1)\right) \sinh(x) + \sinh(1) \cosh(x)$

para conseguirlo: $\sinh(x + 1) = \sinh(x) + \left(−1 + \cosh(1)\right) \sinh(x) + \sinh(1) \cosh(x)$

$\sinh(0)=0$ y $\cosh(0)=1$

$\sinh(0 + 1) = \sinh(0) + \left(−1 + \cosh(1)\right) \sinh(0) + \sinh(1) \cosh(0)$

$\sinh(1) = 0 + \left(−1 + \cosh(1)\right) (0) + \sinh(1) (1)$

$\sinh(1) = \sinh(1)$ como era de esperar.

$\sinh(1 + 1) = \sinh(1) + \left(−1 + \cosh(1)\right) \sinh(1) + \sinh(1) \cosh(1)$

$\sinh(2) = 2\cosh(1)\sinh(1)$