Me gustaría tener una referencia con la clasificación de los subgrupos de SO( $d$ ) que son transitivos en la esfera unitaria de $\mathbb{R}^d$ cuando actúan linealmente (es decir, como matrices de SO( $d$ ) actúan sobre los vectores de $\mathbb{R}^d$ ). Onishchik da las álgebras de Lie (abstractas) de estos grupos, sin especificar qué representaciones.
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PabloG
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Por un célebre resultado de Jim Simons, los subgrupos de Lie de $SO(d)$ actuando transitivamente sobre la esfera unitaria en $\mathbb{R}^d$ coinciden con la lista original de Marcel Berger de posibles grupos de holonomía de variedades riemannianas completas, simplemente conectadas y no simétricas irreducibles. La sección Clasificación de Berger en la entrada de la wikipedia sobre la Holonomía contiene la lista. Son los grupos de holonomía conocidos: $SO(d)$ , $U(d/2)$ , $SU(d/2)$ , $Sp(d/4)$ , $Sp(d/4)\cdot Sp(1)$ , $G_2 \subset SO(7)$ , $Spin(7) \subset SO(8)$ y dos casos que fueron descartados desde entonces: $Spin(9) \subset SO(16)$ y $Sp(d/4)\cdot U(1)$ .
Jeroen van Bergen
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Por ejemplo, echa un vistazo al libro "Einstein manifolds" de Arthur L. Besse, en la página 179. La acción de $G_2$ en $S^6$ viene de su representación no trivial de menor dimensión, que es $7$ -dimensional: la inclusión $G_2\subset SO(7)$ se realiza recordando que $G_2$ es el grupo de automorfismos del álgebra de división real de los números de Cayley (octoniones). Las acciones de $Spin(7)$ y $Spin(9)$ provienen de su representaciones de espín. Los demás grupos son clásicos y actúan mediante sus representaciones estándar (naturales, vectoriales).
