Siento que esto quiere usar el límite de Hasse de alguna manera ya que esa es realmente la única herramienta de la que hablamos con respecto al conteo de puntos en una curva, pero no estoy completamente seguro de cómo llegar a esa conclusión.
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CitizenInsane
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Como se ha dicho, su problema es ligeramente erróneo. Veamos primero lo que nos da el límite de Hasse. Dejemos que $N=pk$ para algunos $k\in \mathbb N_{>0}$ sea el número de puntos de $E$ . Entonces $|pk-p-1|\leq 2\sqrt{p}$ . Ahora bien, si $k\geq 2$ tenemos que $|pk-p-1|\geq p-1$ . Pero la desigualdad $p-1\leq 2\sqrt{p}$ no es válida para $p\geq 7$ . Por lo tanto, si $p\geq 7$ entonces $k=1$ y $N=p$ .
Comprobemos los casos $p=3,5$ . Si $p=5$ y $k\geq 3$ entonces $|pk-p-1|\geq 9$ que es mayor que $2\sqrt{5}$ . Por lo tanto, las únicas posibilidades son $k=1,2$ . Sea $k=2$ y supongamos que $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb F_5$ con $10$ puntos. Sea $y^2=f(x)$ sea una ecuación de Weierstrass para $E$ con $f(x)$ un polinomio mónico de grado $3$ . Desde $E$ tiene $10$ puntos, $f(x)$ tiene exactamente $1$ raíz, por lo que es un factor como $(x-a)g(x)$ donde $a\in \mathbb F_5$ y $g(x)$ es irreducible mónico de grado $2$ . El número de puntos de $E$ viene dada por $$10=1+\sum_{x\in \mathbb F_5}\left(\left(\frac{f(x)}{5}\right)+1\right)=6+\sum_{x\neq a}\left(\frac{(x-a)g(x)}{5}\right)$$
Aquí $\displaystyle \left(\frac{\cdot}{5}\right)$ es el símbolo de Legendre. Dado que $g$ era arbitraria, hasta una traducción podemos suponer que es de la forma $x^2+c$ . Como las traslaciones no cambian la irreductibilidad, debemos tener $c=2,3$ . Por lo tanto, basta con demostrar que para cada $a\in \mathbb F_5$ , $$\sum_{z\neq a}\left(\frac{(x-a)(x^2+c)}{5}\right)\neq 4$$ para $c=2,3$ . Sea $c=2$ . Si $x=1$ entonces $1-a$ debe ser un no cuadrado, por lo que $2$ o $3$ . Así, $a=-1,3$ . Es fácil descartar ambos casos, y lo mismo para $c=3$ .
Para $p=3$ se puede comprobar directamente que la curva elíptica $y^2 = x^3 + x^2 + 1$ en $\mathbb F_3$ tiene $6$ puntos y la curva $y^2 = x^3 + x^2 + 2$ tiene $3$ puntos. Por lo tanto, la afirmación correcta es: si $p$ divide $N$ entonces $N=p$ si $p>3$ mientras que $N\in\{p,2p\}$ si $p=3$ .
