$e^{\pi\sqrt N}$ está muy cerca de un entero para algunos más bien pequeño, $N$s. ¿Qué acerca de la $\pi^{e\sqrt N}$?

Question

Heegner números (1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 - vamos a utilizar el símbolo $H_n$) son los que saben de propiedad peculiar que $e^{\pi\sqrt{H_n}}$ son casi enteros:

$$e^{\pi \sqrt{19}} \approx 96^3+744-0.22$$ $$e^{\pi \sqrt{43}} \approx 960^3+744-0.00022$$ $$e^{\pi \sqrt{67}} \approx 5280^3+744-0.0000013$$ $$e^{\pi \sqrt{163}} \approx 640320^3+744-0.00000000000075$$

(dado que todos ellos están a menos de 200, va mucho más allá de "oportunidad" y la "aleatoriedad")

Aunque parezca extraño, relacionado con el anterior:

$$19 = 3 \cdot 2 \cdot 3+1$$

$$43 = 7 \cdot 2 \cdot 3+1$$

$$67 = 11 \cdot 2 \cdot 3+1$$

$$163 = 27 \cdot 2 \cdot 3+1$$

y

$$96^3 =(2^5 \cdot 3)^3$$

$$960^3=(2^6 \cdot 3 \cdot 5)^3$$

$$5280^3=(2^5 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11)^3$$

$$640320^3=(2^6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29)^3$$

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Relacionado con esto, me gustaría saber:

Hay números naturales N (de bastante rango similar, entonces, digamos de menos de 500) que producen "casi" enteros en la expresión de $\pi^{e\sqrt{N}}$?

Si sí, ¿tienen otras características muy interesantes, como Heegner los números?

Si no, todos a la derecha, un motivo más para apreciar Heegners. :)

Answer 1

Hasta 100000, los mejores 10 $N$ tal que $e^{\pi\sqrt{N}}$ es casi un entero. El error de $\delta$ es dado que el entero más cercano está a $10^{\delta}$ a partir del resultado.

$$ \begin{array}{c|c} N & \delta \\\hline 163 & -12.12\\ 4\cdot163 & -9.79\\ 9\cdot163 & -8.01\\ 58 & -6.75\\ 16\cdot163 & -6.51\\ 67 & -5.87\\ 22905 & -5.61\\ 95041 & -5.55\\ 54295 & -5.37\\ 25\cdot163 & -5.2\\ \end{array} $$

Como se puede ver, no $N$ beats 163 hasta 100000. (Para N = 4 x 163.)

Para $\pi^{e\sqrt{N}}$, el comportamiento es mucho más regular y obtener :

$$ \begin{array}{c|c} N & \delta \\\hline 66972 & -5.03 \\ 85516 & -5.01 \\ 53204 & -4.91 \\ 46665 & -4.9 \\ 50237 & -4.8 \\ 93909 & -4.53 \\ 52970 & -4.4 \\ 10024 & -4.32 \\ 84702 & -4.17 \\ 6814 & -4.17 \\ \end{array}$$

Por tanto, parece que hay algo extraño en $e^{\pi\sqrt{N}}$ que hace esa pregunta interesante !

Answer 2

El fenómeno con la Heegner números pueden ser generalizadas,

$$e^{\pi/a\,\sqrt{-d}}\tag1$$

con discriminantes $d=b^2-4ac$, de la ecuación cuadrática,

$$P(n) = an^2+bn+c\tag2$$

Estos $d$ tienen propiedades muy interesantes.

I. Conexión a la primer generación de polinomios:

Estoy seguro de que usted está familiarizado con la de Euler,

$$P(n) =n^2+n+41\tag3$$

Sin embargo, hay otros óptimo de la primer generación de polinomios con $a\neq1$,

$$P(n) =2n^2+29\tag4$$

$$P(n) =2n^2+2n+19\tag5$$

$$P(n) =3n^2+3n+23\tag6$$

$$P(n) =4n^2+163\tag7$$

$$P(n) =6n^2+6n+29\tag8$$

y a los demás. Utilizando los valores de su $a,d$ a $(1)$, se obtiene,

$$\begin{aligned} &e^{\pi/1\,\sqrt{163}} = 640320^3 +743.999999\dots\\ &e^{\pi/2\,\sqrt{232}} = e^{\pi\sqrt{58}} = 396^4 -104.0000001\dots\\ &e^{\pi/2\,\sqrt{148}} = e^{\pi\sqrt{37}} = (84\sqrt{2})^4 +103.99997\dots\\ &e^{\pi/3\,\sqrt{267}} = 300^3 + 41.99997\dots\\ &e^{\pi/4\,\sqrt{10432}} = e^{\pi\sqrt{4\cdot163}} = (640320^3+744)^2 - 2\cdot \color{blue}{196883}.99999\dots\\ &e^{\pi/6\,\sqrt{708}} = 1060^2 + 9.99992\dots \end{aligned}$$

y así sucesivamente.

1. Lo 196884? (OEIS)
2. Y aquí el porqué $\log(196883) \approx 4\pi$ es importante para la gravedad cuántica. (¿Eh?)

Más en estos prime-la generación de los polinomios de aquí.

II. Conexión a pi fórmulas:

Además, cada uno de estos entero aproximaciones pueden ser utilizados en un Ramanujan-Sato pi fórmula. El más famoso, por supuesto, es con $d = 4\cdot58$,

$$\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{99^2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!}{k!^4} \frac{58\cdot455k+1103}{396^{4k}}$$

III. Conexión a Pell ecuaciones:

Además, ellos también están conectados a ecuaciones de Pell. Por ejemplo, la solución fundamental a,

$$x^2-3\cdot163y^2 = 1$$

$$x,\;y = 7592629975,\;343350596$$

por lo tanto la unidad fundamental,

$$U =x+y\sqrt{489} =7592629975+343350596\sqrt{489} = \big(35573\sqrt{3}+4826\sqrt{163}\big)^2$$

A continuación,

$$\Big(3\sqrt{3}\big(U^{1/2}-U^{-1/2}\big)+6\Big)^3 = 640320^3$$

Usted puede leer más en este MO post. Hay mucho más a $e^{\pi\sqrt{n}}$ que casi enteros, parece.