Paquetes de fibras sobre esferas

Question

Dejemos que $F$ sea un espacio topológico cualquiera. En muchos libros, por ejemplo en http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html se dice que un mapa continuo (mapa característico) (donde $Homeo(F)$ tiene la topología compacta-abierta) $$\phi \colon S^{n-1} \to Homeo(F)$$ definen un haz de fibras $\xi_{\phi}$ en $S^n$ pegando dos haces triviales con fibra $F$ en dos hemisferios $D_+$ y $D_-$ cuyo espacio total es $$E = ((D_+ \times F) \coprod (D_- \times F)) / R$$ donde la relación de equivalencia es para $x \in D_+ \cap D_- = S^{n-1}$ y $y \in F$ $$ (x,y) \in (D_+ \times F) \sim (x,\phi(x)(y)) \in D_- \times F).$$ De hecho, Hatcher y otros escriben eso para los paquetes de vectores, pero aquí no importa.

Estoy de acuerdo con ellos si se amplían ambos hemisferios para que su intersección sea una zona ecuatorial abierta. Pero si se utiliza $D_+$ y $D_-$ No entiendo por qué $\xi_{\phi}$ es un haz de fibras.

El teorema del encolado funciona para un recubrimiento abierto de la base, pero aquí se trata de un recubrimiento cerrado, y su intersección iso a $S^{n-1}$ también está cerrado.

No veo cómo la trivialidad local de este $\xi_{\phi}$ se obtiene para $x \in S^{n-1}$ . Estrictamente hablando, para mí no es un paquete de fibra...

Answer 1

Dudo que eso sea cierto para los espacios arbitrarios $F$ pero sí es cierto para los compactos locales $F$ . Esto cubre la mayoría de los casos relevantes.

En la secuela deja que $F$ ser localmente compacto. El ley exponencial nos dice que los mapas continuos $\phi : S^{n-1} \to Homeo(F)$ pueden identificarse con mapas continuos $\phi' : S^{n-1} \times F \to F$ de manera que cada $\phi'(x,-) : F \to F$ es un homeomorfismo. Obsérvese que estos mapas pueden identificarse con isomorfos del haz $\psi : S^{n-1} \times F \to S^{n-1} \times F$ : A $\phi'$ asociado $\psi(x,y) = (x,\phi'(y))$ y a $\psi$ asociado $\psi_F = p_F \circ \psi$ con proyección $p_F : S^{n-1} \times F \to F$ .

Obsérvese también que en muchos casos no se trabaja con $Homeo(F)$ pero con un subconjunto $S \subset Homeo(F)$ . Por ejemplo, si $F = \mathbb{R}^m$ Entonces se suele tomar $S = GL(\mathbb{R}^m)$ .

Pegando dos haces triviales sobre $D_\pm$ a lo largo de $\psi$ es evidente y da lugar a un espacio $E_\psi$ con proyección $\pi :E_\psi \to S^n$ . Queremos demostrar que $(E_\psi,\pi)$ es un haz de fibras. Queda por demostrar la trivialidad local alrededor de un punto arbitrario $x \in S^{n-1}$ . Sea $U = S^n \setminus \{ northpole, southpole \}$ . Hay una retracción canónica $r : U \to S^{n-1}$ . Definir $\mu : U \times F \to \pi^{-1}(U)$ por $$\mu(x,y) = \begin{cases} [x,y] & x \in D_+ \cap U \\ [x,\psi_F(r(x),y)] & x \in D_- \cap U \end{cases} $$ Se trata de un mapa continuo bien definido ya que en $S^{n-1} = D_+ \cap D_-$ tenemos $r(x) = x$ y $[x,y] = [x,\psi_F(x,y)]$ . Un inverso $\lambda : \pi^{-1}(U) \to U \times F$ para $\mu$ viene dada por $$\lambda([x,y]) = \begin{cases} (x,y) & x \in D_+ \cap U \\ (x,\psi^{-1}_F(r(x),y)) & x \in D_- \cap U \end{cases} $$ Nótese que es inducido por un mapa continuo $\lambda' : (D_+ \cap U) \times F \coprod (D_- \cap U) \times F \to U \times F$ es decir, es en sí mismo un mapa continuo.