El grupo fundamental de $X$, un complejo CW, es isomorfo al grupo fundamental de su 2-esqueleto.

Question

Estoy tratando de demostrar que si $X$ es un CW-complejo, entonces $$ \pi_1(X) = \pi_1(X^2)$$ donde $X^2$ es el 2-esqueleto.

Encontré la siguiente proposición en el libro de Hatcher:

Proposición 1.26.

(a) Si $Y$ se obtiene de $X$ adjuntando $2$-celdas como se describe arriba, entonces la inclusión $X \hookrightarrow Y$ induce una suryección $\pi_1 (X, x_0) \to \pi_1 (Y,x_0)$ cuyo núcleo es $N$. Así que $\pi_1 (Y) \approx \pi_1 (X)/N$.

(b) Si $Y$ se obtiene de $X$ adjuntando celdas $n$-dimensionales para un $n > 2$ fijo, entonces la inclusión $X \hookrightarrow Y$ induce un isomorfismo $\pi_1 (X, x_0) \approx \pi_1 (Y,x_0)$.

(c) Para un complejo celular conexo por caminos $X$, la inclusión del $2$-esqueleto $X^2 \hookrightarrow X$ induce un isomorfismo $\pi_1 (X^2,x_0) \approx \pi_1 (X,x_0)$.

(En (a), $N$ es un subgrupo normal de $\pi_1(X,x_0)$.)

Me preguntaba si existe una demostración más "directa", o si debería simplemente seguir esta proposición. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

El argumento con sabor a CW utiliza la versión relativa de la aproximación CW:

Sean $X$ e $Y$ complejos CW, $A\subset X$ un subcomplejo. Si $f\colon X \to Y$ es una función continua que es celular en $A$ entonces existe una homotopía $H\colon X\times I \to Y$ tal que $H_0 = f$, $H_t(a) = f(a)$ para todo $a\in A$ y $t\in I$, y $H_1$ es celular.

Sea $X$ un complejo CW, y $\iota \colon X^n \to X$ la inclusión de su $n$-esqueleto (omitimos el subíndice en $\iota$ por razones de notación). Queremos mostrar que $\iota_*\colon \pi_1(X^2) \to \pi_1(X)$ es un isomorfismo. Supongamos que $S^1$ tiene una estructura CW de modo que el punto base es un $0$-célula.

Si $f\colon S^1 \to X$ conserva el punto base, entonces por aproximación relativa de CW hay una homotopía preservando el punto base entre $f$ y una función celular punteada $\tilde{f}\colon S^1 \to X$. Debido a la celularidad, la imagen de $\tilde{f}$ está en $X^1$, por lo que $\iota_*\colon \pi_1(X^2)\to \pi_1(X)$ es sobreyectiva.

Ahora supongamos que $f\colon S^1 \to X^2$ es una mapa punteado tal que $[\iota\circ f] = 0 \in \pi_1(X)$, es decir, $[f]$ está en el núcleo de $\iota_*$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $f$ es un mapa celular. Si consideramos una nul-homotopía preservando el punto base $H\colon S^1 \times I \to X$ de $\iota\circ f$, entonces por aproximación relativa de CW (nota que $H$ es celular en el subcomplejo $(X\times \{0\}) \cup (\{x_0\} \times I) \subset X \times I$) $H$ es homotópica a una nul-homotopía preservando el punto base $\tilde{H}$ de $\iota\circ f$ que es celular. En particular, la imagen de esta nul-homotopía está en $X^2$, por lo tanto $[f] = 0 \in \pi_1(X^2)$, por lo que $\iota_*$ es inyectiva.

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Nota: un argumento esencialmente idéntico muestra que $\pi_n(X) \cong \pi_n(X^{n+1})$ para todo $n\geq 0$, como ejercicio deberías escribir los detalles.

Edición: Nota adicional: después de revisar la demostración de Hatcher de esta proposición, parece más elemental que la completa aproximación CW, aunque siento que la aproximación CW es la forma "conceptual" de responder a tu pregunta específica sobre complejos CW.