Mientras que contradicción tiene una aplicación técnica en matemáticas, la palabra paradoja (¡hasta la fecha!) sigue siendo informal. el uso de la palabra puede verse como algo parecido a poner un signo de exclamación: llama nuestra atención sobre algo que puede evocar una sensación de sorpresa o malestar sobre la consistencia de nuestras suposiciones o reglas de inferencia.
nuestras matemáticas modernas experimentaron lo que el poeta podría llamar su primero, fino y descuidado arrebato en el par de siglos que transcurrieron entre la llegada de Newton y la salida de Gauss. desde entonces el malestar se ha experimentado con más frecuencia, y ha sido de hecho un gran estímulo para el desarrollo del rigor en la deducción. también ha generado controversias de vez en cuando, algo que uno podría, a priori, haber pensado que era imposible en una ciencia puramente deductiva.
como sugieres correctamente, gran parte de este malestar ha sido el síntoma de un largo y desafiante proceso de desarrollo de la correcta intuición de varios aspectos del infinito.
Si permitimos que las matemáticas incorporen algunas de las características de la creatividad artística, entonces la construcción de Banach-Tarski es ciertamente una obra maestra, una miniatura perfectamente formada. si quiere una comparación menos técnica, podría hacer algo peor que pensar en lo que se conoce como Las paradojas de Zenón El nombre del antiguo filósofo griego conocido como Zenón de Elea.
Sin embargo, no hace falta ser un filósofo: un niño brillante de cinco años puede hacer preguntas incómodas. Por ejemplo, "si un espacio está compuesto por puntos de dimensión cero, ¿cómo puede tener un volumen medible?".
Por supuesto, podemos agitar las manos y murmurar misteriosas imprecaciones sobre "infinitos incontables", al igual que el invitado medio a una cena descartará a Zenón con el comentario "por supuesto que el pobre no tenía conocimiento de las secuencias convergentes". pero la pregunta sigue en pie y es impresionantemente más sencilla que cualquiera de las respuestas que se ofrecen.
De manera informal, podríamos decir que la construcción de Banach-Tarski pone un signo de exclamación en la unión de dos grandes pilares de la matemática moderna: la teoría de la medida de Lebesgue y el axioma de elección. como escribe Thomas Jech:
"El axioma de la elección es diferente de los principios ordinarios aceptados por los matemáticos. Y ésta fue una de las fuentes de las objeciones al Axioma de Elección, ya en los años 30. La otra fuente de objeciones es el hecho de que el axioma de elección puede utilizarse para demostrar teoremas hasta cierto punto "desagradables", e incluso teoremas que no se ajustan exactamente a nuestra intuición de "sentido común"." El axioma de la elección (1973), p. 2
no debemos dejarnos influir demasiado por las nociones preconcebidas sobre lo que son las matemáticas. digamos lo que digamos sobre su materia, la naturaleza de las matemáticas como actividad de seres vivos en un entorno concreto es un fenómeno empírico, y no puede decidirse a priori. vivimos y aprendemos.
Recordemos que Dedekind, cuya técnica de los "cortes" proporcionó una nueva claridad al pensar en los irracionales reales, pronto se dio cuenta de que un agregado incontable tiene la característica paradójica de que todos sus elementos, salvo un subconjunto muy pequeño, nunca pueden ser nombrados, ni siquiera en principio, debido a las restricciones finitas/contables del lenguaje y el simbolismo. entonces, ¿cuál es la naturaleza de estas entidades sombrías? si las elimináramos de la consideración perderíamos una herramienta muy básica: el teorema del valor intermedio para las funciones continuas.
¿y qué es la lógica?
