Considere $A = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < \pi \}$ . Demuestre formalmente que $\sup A = \pi$ .

Question

No estaba seguro de cómo resolver esto, pero tenía un par de ideas:

1.) Utilizando el hecho de que los racionales son un subconjunto de los reales para decir que $\sup (A) - \varepsilon < x < \pi$ . Sin embargo, me encuentro con una pared de ladrillos. Para que esto ocurra, $\mathbb{Q}$ debe tener un límite superior mínimo, que no tiene por naturaleza.

2.) Escriba $x = \frac{m}{n}$ y tratar de demostrar lo contrario que $x \geq \pi$ . Esto debería llevar a una contradicción que debería decir que habrá un número mayor que $x$ que es menor que $\pi$ Pero no estoy seguro de cómo llevar a cabo esta estrategia.

Answer 1

Aunque no lo parezca, este ejercicio está pensado para ser fácil. Incluso trivial. Simplemente hazlo por definiciones.

Para demostrar $\pi = \sup A$ debemos demostrar dos cosas i) $\pi$ es un límite superior de $A$ . y ii) si $b < \pi$ entonces $b$ no es un límite superior de $A$ .

Pf de i) Para todos los $a \in A$ entonces $a < \pi$ así que $\pi$ es un límite superior de $A$ .

Pf de ii) entre dos números reales cualesquiera $x,y$ para que $x < y$ el es un número racional $q$ para que $x < q < y$ . Esto se debe a que $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ .

Así que si $b < \pi$ hay un $q$ para que $b < q < \pi$ . Así que $q < \pi$ así que $q \in A$ . Así que $b$ no es un límite superior de $A$ .

Así que $\pi$ es el límite superior mínimo de $A$ y $\pi = \sup A$ .

.....

eso es todo.

Bien, alguna vez debes demostrar que entre cualquier a número real hay un racional. Pero es de suponer que ya lo has demostrado.

Lema 1: Si $M > 0$ hay un número natural $n$ para que $n > M$ .

Si no es así $\mathbb N$ está acotado por encima, por lo que $\sup \mathbb N$ existe. Así, $\sup \mathbb N-1$ no es un límite superior de $\mathbb N$ por lo que hay un número natural, $m$ para que $\sup \mathbb N - 1 < m$ . Pero $m \le \sup \mathbb N$ . Así que $\sup\mathbb N-1 < m \le \mathbb N$ . Así que $\sup \mathbb N < m + 1 \in \mathbb N$ que es una contradicción.

Cor: Si $\epsilon > 0$ el es un $n$ para que $\frac 1n < \epsilon$ .

Pf: Deja $n > \frac 1\epsilon > 0$ . Entonces $0 < \frac 1n < \epsilon$ .

Lema 2: Si $x < y$ entonces existe un racional $q$ para que $x < q < y$ .

Pf: Deja $n$ sea un número natural para que $0 \frac 1n < y-x$ . Sea $A = \{\frac mn| m\in \mathbb Z; \frac mn \le x\}$ . $A$ está limitada por encima por $x$ . $A$ no está vacío porque... si $x \ge 0$ entonces $-\frac 1n \in A$ . Si $x < 0$ entonces hay un $m > n|x|$ y $-\frac mn < x$ . Así que $\sup A - \frac 1{2n}$ no es un límite superior de $A$ por lo que hay un $m$ para que $\sup A - \frac 1{2n} < \frac mn \le \sup A \le x < x + \frac 1n < y$ . Así que $\frac {m+1}n\not \in A$ y $x < \frac {m+1}n \le x + \frac 1n < y$ .

Answer 2

Con un poco de investigación puede ser capaz de demostrar que $3<\pi<4$ . Por lo tanto, $4$ es un límite superior para $A$ y $2$ no lo es. Concluimos que existe una cota mínima superior. Por tanto, dejemos que $a=\sup A$ .

Si $a<\pi$ entonces $\frac1{\pi-a}>0$ . Por la propiedad de Arquímedes, existe $n\in\Bbb N$ con $n>\frac1{\pi-a}$ . Demuestre que el conjunto $\{\,k\in\Bbb N\mid \frac kn>a\,\}$ es no vacía, por lo que tiene un elemento mínimo $m$ . Concluir que $a<\frac mn <\pi$ contradiciendo la propiedad de límite superior de $a$ .

Si $a>\pi$ Procederemos de la misma manera para encontrar $\pi<\frac mn<a$ por lo que presenta un límite superior menor que $a$ .

Concluir que $a=\pi$ .

Answer 3

Queremos demostrar que $sup(A) = \pi$ Así que vamos a empezar:

Necesitamos dos cosas.

1) $\pi$ es el límite superior del conjunto A. Es bastante obvio, porque $A=\{x\in Q : x<\pi \} $ Así que $\forall_{x \in A} : x \leq \pi $

Y termina nuestra prueba, que $\pi$ es un límite superior de A.

2) No hay un límite superior "mejor". Formalmente hablando: $\forall_{\epsilon>0} \exists_{x\in A} : \pi - \epsilon < a $

En este caso, tenemos que utilizar una propiedad muy importante de los números racionales: la densidad. Si tenemos $p,q \in Q$ tal que $p<q$ existe $ r \in Q$ tal que $p<r<q$ .

También necesitamos una cosa más. Que entre cada número irracional, hay otro irracional, y racional. (Por lo que podemos concluir, que entre cualquier 2 números, hay racional e irracional entre ellos)

Teniendo todas esas cosas, procedamos.

Queremos encontrar $x \in Q$ tal que $\pi - \epsilon < x < \pi$

Debido a nuestra observación anterior, es obvio que podemos encontrar racionales x con estas propiedades.