Definiciones de E(X^2) - valor esperado de v.r. X al cuadrado

Question

Mi libro tiene dos ejemplos de computación $E(X^2)$

1. Sea X el resultado de un dado justo

$E(X^2) = \frac{1}{6}(1^2 + 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)$

2. Sea X el número de puntos fijos de una permutación

$E(X^2)=\sum_i^nE(X_i)^2 + \sum_{i\neq j}E(X_iX_j)$

Entiendo que la segunda viene del hecho de que $X = X_1+X_2+...X_n$ así que $X^2 = (X = X_1+X_2+...X_n)(X = X_1+X_2+...X_n)$ que es de donde salen las dos sumas.

La parte que no entiendo es cómo se relacionan ambos métodos. ¿Podemos expresar la puntuación en un dado justo en la forma de la segunda definición, o la segunda definición está reservada sólo para los v.r. indicadores?

Answer 1

En su primer caso $X$ no es una suma, sino una variable aleatoria.

En el primer caso, tendría $E(X^2)=\frac{91}{6}$ y también $E(X)=\frac72$

En su segundo debería haber escrito $E(X^2)=\sum_i^nE(X_i^2) + \sum_{i\neq j}E(X_iX_j)$ .

Aunque sus dos enunciados no están realmente relacionados, podría utilizarlos juntos, por ejemplo para encontrar el segundo momento de la suma de $n$ dados justos independientes:

$$ \frac{91}{6}n+ \left(\frac72\right)^2n(n-1) = \frac{35}{12}n +\frac{49}{4}n^2$$ lo que te llevaría a encontrar la varianza de la suma siendo $\frac{35}{12}n$