La equivalencia de las Definiciones de los Principales $G$-bundle

Question

Finalmente he llegado a aprender acerca de los principales $G$-paquetes.

En la literatura, me he encontrado (más de) cuatro definiciones diferentes. Ya que soy una principiante, es claro para mí si estas definiciones son equivalentes o no. Agradecería cualquier aclaración.

Todos los mapas y el grupo de acciones se supone continua.

Definición 1: Un director de $G$-bundle es un haz de fibras $F \to P \xrightarrow{\pi} X$ junto con una correcta acción de $G$ $P$ tal forma que:

(1) $G$ actúa libremente y transitivamente en las fibras.

(2A) $G$ preserva las fibras.

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Definición 2: Un director de $G$-bundle es un haz de fibras $F \to P \xrightarrow{\pi} X$ junto con una acción izquierda de $G$ $F$ (nota: $F$ aquí) tal que:

(1) $G$ actúa libremente y transitivamente en $F$.

(2B), existe una vulgarización de la cubierta con $G$valores de mapas de transición.

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Definición 3: Un director de $G$-bundle es un haz de fibras $F \to P \xrightarrow{\pi} X$ junto con una correcta acción de $G$ $P$ tal forma que:

(1') $G$ actúa libremente en $P$$X = P/G$$\pi\colon P \to X$$p \mapsto [p]$.

(2C), existe una vulgarización de la cubierta que es $G$-equivariant.

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Definición 4: Un director de $G$-bundle es un haz de fibras $F \to P \xrightarrow{\pi} X$ junto con una correcta acción de $G$ $P$ tal forma que:

(2A) $G$ preserva las fibras.

(2C), existe una vulgarización de la cubierta que es $G$-equivariant.

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Pensamientos: me parece que la Definición 4 es no equivalente a la de los otros tres. Más que nada, yo soy claro como el por qué de la existencia de una vulgarización de la cubierta que es $G$-equivariant es equivalente (es?) a la existencia de uno que ha $G$valores de la transición de las funciones.

También he visto una quinta definición que asume la condición (1).

Gracias de antemano.

Answer 1

Para la equivalencia de estas definiciones, me gustaría ver aquí: Local, la trivialidad de los principales paquetes.

La existencia de una $G$-equivariant cubierta es equivalente a la existencia de $G$valores de la transición de las funciones de:

Supongamos que $(U_\alpha,\Phi_\alpha)$, $\Phi_\alpha : P\vert_{U_\alpha} \to U_\alpha\times F$, es una vulgarización de la cubierta. Esto define una colección de mapas de $\phi_\alpha : P\to F$ por $$ \Phi_\alpha(p) = (\pi(p), \phi_\alpha(p)). $$ Para que un derecho principal $G$-bundle, esta cubierta es $G$-equivariant si $\phi_\alpha(pg) = \phi_\alpha(p)g$. Ahora tenemos $$ \Phi_\alpha \circ \Phi_\beta^{-1} : U_\alpha \cap U_\beta \times F \U_\alpha \cap U_\beta \times F $$ es un isomorfismo de trivial $G$-paquetes y así toma la forma $$ (x, f) \mapsto (x, h_{\alpha\beta}(x,f)). $$ Si la tapicería es $G$-equivariant lo es este mapa, lo que significa que $h_{\alpha\beta}(x,fg) = h_{\alpha\beta}(x,f)g$. Desde $G$ está actuando libremente y de manera transitiva, la fijación de un punto de $F$ identidades $F$ $G$ $h_{\alpha\beta}$ está totalmente determinado por la función de $g_{\alpha\beta}: U_\alpha\cap U_\beta \to G, x \mapsto h_{\alpha\beta}(x,e)$. Así, la transición de las funciones están dadas por la izquierda-la multiplicación por $g_{\alpha\beta}$. Esto es lo que significa la transición de las funciones de se $G$valores.

Por el contrario, si la transición de las funciones de se $G$-valorado, a continuación, el como banalizaciones se $G$-equivariant. Esto es debido a que $$ P = \sqcup_\alpha U_\alpha \times F/\sim, ~~ (x, f) \sim (x, g_{\alpha\beta}(x)f) \text{ para } x \U_\alpha\cap U_\beta. $$ El equivariance, a continuación, viene del hecho de que la transición de las funciones se operan por la izquierda-la multiplicación, mientras que el $G$-la acción es el derecho de la multiplicación.