Cómo extraer la distribución de v.r. $X$ de la función generadora de probabilidad de $X$ ?

Question

Cómo extraer la distribución de v.r. $X$ de la función generadora de probabilidad de $X$ ?

El p.g.f. de $X$ es:

$$G_X(t)=\sum_{k=1}^{\infty}t^kP_X(k).$$

Es decir, si $G_X(t)$ se conoce, entonces (cómo) se puede "averiguar" $P_X(k)$ ?

Answer 1

Se puede aplicar el procedimiento habitual de extracción de series de Taylor:

$$P_X(k)=\frac{1}{k!}\left.\frac{d^k}{dt^k}G_X(t)\right|_{t=0}$$