solución fundamental de la ecuación biharmónica de dimensión 2

Question

Cómo puedo obtener la solución fundamental de la ecuación biharmónica de dimensión 2, $\Delta^2u=0,$ con la ayuda de la solución fundamental de la ecuación de Laplace?

En efecto, sólo tengo que calcular la siguiente integración:

$$\int_{0}^{+\infty}\int^{2\pi}_{0}r\ln{r}\ln{\sqrt{R^2+r^2-2 R\, r\cos{(\theta-\theta_0)}}\,\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r},$$

donde $R$ y $\theta_0$ son constantes positivas.

Answer 1

La integral $$\int^{2\pi}_{0}\ln{\sqrt{R^2+r^2-2 R\, r\cos{(\theta-\theta_0)}}}\,\mathrm{d}\theta \tag1$$ no depende de $\theta_0$ como se puede comprobar cambiando la variable a $\theta-\theta_0$ y utilizando la periodicidad de $\cos$ . Además, no depende de $r$ o bien (siempre y cuando $r<R$ ). En efecto, la función bajo la integral es armónica en el disco $|x|<R$ siendo la solución fundamental de $\Delta$ con el poste en $(R,\theta_0)$ . Por lo tanto, su media sobre el círculo de radio $r$ es igual al valor en $0$ .
$$\int^{2\pi}_{0}\ln{\sqrt{R^2+r^2-2 R\, r\cos{(\theta-\theta_0)}}}\,\mathrm{d}\theta = 2\pi \ln R \tag2$$

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Sólo para completar: hay otras formas de obtener la solución findamental para el bi-Laplaciano.

• Utiliza el hecho de que toda función biarmónica es de la forma $r^2 g + h $ donde $g,h$ son armónicos.
• O bien, escriba $\Delta^2$ en coordenadas polares y resolver la EDO.