¿Se relaciona la multiplicación de cuaterniones con el espacio de Minkowski?

Question

Un cuaternión anotado como $a+bi+cj+dk$ también puede escribirse en términos de un escalar y un vector $(a,v)$ , donde $v$ es el vector triple $(b,c,d)$ . En esta notación, la parte real del producto $(p,q)(r,s)$ es igual a $pr-q\cdot s$ que es exactamente igual al producto interior en el espacio de Minkowski. ¿Sale algo profundo e interesante de esto, o no es realmente útil? Como sabemos que los cuaterniones se relacionan con las rotaciones en tres dimensiones, es decir, con la geometría del espacio euclidiano, es tentador pensar que esto los relaciona de alguna manera también con la geometría del espacio de Minkowski.

Esto puede ser relevante, pero no puedo acceder a él: http://iopscience.iop.org/0143-0807/5/1/007

Answer 1

Definitivamente hay una conexión, pero la calidad de la misma depende de las expectativas de cada uno. Hay una gran interacción entre la geometría métrica que utiliza las álgebras de Clifford y los cuaterniones. Las álgebras de Clifford (o "geométricas") codifican información geométrica sobre el espacio subyacente.

Me gustaría mencionar tres de estas álgebras. En primer lugar, $C\ell_{0,2}(\mathbb{R})=\mathbb{H}$ .

En segundo lugar, para los euclidianos ordinarios $\mathbb{R}^3$ el álgebra $C\ell_{3,0}(\mathbb{R})$ contiene $\mathbb{H}$ como una subálgebra de elementos que promueven las rotaciones de la manera tradicional de los cuaterniones. (Por supuesto, MUCHAS álgebras de Clifford contienen copias $\mathbb{H}$ pero este es el que lo hace de forma "natural"). Estos son los llamados rotores en el álgebra.

Por último, pasando al espacio de Minkowski con $C\ell_{1,3}(\mathbb{R})$ Los rotores son un poco diferentes a los cuaterniones. Abarcan tanto las rotaciones espaciales como los impulsos de Lorentz y las mezclas de ambos. Creo que el fenómeno que has observado puede ser una sombra de estos rotores parecida a la de los cuaterniones.

En tu post parecía que estabas leyendo un artículo usando biquaterniones (cuaterniones complejos), y puedo recomendar otro buen artículo sobre eso si no lo has encontrado ya: consulta el artículo de Lambek Si Hamilton hubiera prevalecido: Los cuaterniones en la física (1995) Math.Intelligencer. En general es conocido por sus buenas exposiciones y es conocedor de este tema en particular (fue parte de su disertación).

P.D.: Si te preguntas por $C\ell_{3,1}(\mathbb{R})$ también es interesante, pero es no isomorfo a $C\ell_{1,3}(\mathbb{R})$ como $\mathbb{R}$ álgebras. Para los fines de la física, no creo que haya surgido ninguna evidencia para elegir una como "mejor".

Answer 2

Siento no haber visto esto antes. El espacio de cuaterniones no es lo mismo que el espacio-tiempo de Minkowski y la relación entre ellos es sutil.

Puedes hacer la transformada de Lorentz con cuaterniones sin mucho problema, muestro una forma de hacerlo aquí. No veo que se necesiten bicuaterniones.

https://sites.google.com/site/jethomas5/home/quaternion-lorentz-transform

Douglas Sweetser tiene algo que parece un enfoque completamente diferente utilizando funciones trigonométricas hiperbólicas. http://visualphysics.org/preprints/qmn10091026

Algunas personas que suenan como expertos dicen que su enfoque funciona. https://physics.stackexchange.com/questions/28797/is-this-a-quaternion-lorentz-boost

Answer 3

Sí, esto se ha hecho más de una vez. Aunque esté familiarizado con los cuaterniones, es posible que el lector no haya oído hablar de los bicuaterniones.

Deja que -1, $i$ , $j$ y $k$ denotan generadores del grupo de cuaterniones, con relaciones $(-1)^2 = 1,\ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ . Cuando $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son números reales, $$q = a + bi + cj + dk$$ se llama quaternion . Cuando se permite que sean complejas, se denomina biquaternion .

1. Dirac, P. A. M. Aplicación de los cuaterniones a las transformaciones de Lorentz. Proceedings of the Royal Irish Academy (Dublín), vol. 50, secc. A, nº 16, 27 de noviembre de 1945, pp 261-70. Relaciona las transformaciones habituales de Lorentz con las transformaciones en el espacio proyectivo cinco. Las transformaciones son similares en forma a las transformaciones de Möbius (por lo que utilizan la capacidad de dividir cuaterniones) pero entre bicuaterniones en lugar de números complejos.

2. Lanczos, Cornelius (1949), The Variational Principles of Mechanics, University of Toronto Press, pp. 304-312. Utiliza un subespacio lineal de biquaterniones, que no está cerrado bajo la multiplicación, por lo que no es una subálgebra, para representar el espacio de Minkowski. Es el más sencillo de entender. Para los fundamentos, véase Artículo de Wikipedia sobre los bicuaterniones . La sección "Relación con las transformaciones de Lorentz" responde a su pregunta.

3. Girard, P. R. El grupo de cuaterniones y la física moderna (1984) Eur. J. Phys. vol 5, p. 25-32. Los cuaterniones son una de las pocas álgebras de Clifford consistentes con una definición de división. Como ese aspecto ha sido de poca ayuda, el interés por otras álgebras de Clifford ha aumentado mucho, mientras que el interés por los cuaterniones mismos ha disminuido. Aunque está fechado, este artículo repasa cómo encajan los cuaterniones en las nociones modernas, y proporciona referencias históricas a los trabajos realizados para resolver la cuestión que usted planteó. Entre otras cosas, el autor utiliza los biquaterniones para representar los grupos de Lorentz, incluyendo un tratamiento de la precesión de Thomas.