¿A qué distancia podemos llegar mediante el redondeo múltiple y el cambio de unidades?

Question

Esta pregunta se inspira en xkcd #2585 ( Redondeo ) :

Dejemos que $u_0,\ldots,u_n$ sean números reales positivos (podemos suponer, por ejemplo, que $u_0=1$ ) o "unidades".

Consideremos el siguiente grafo dirigido: sus vértices son pares $(i,k)$ donde $0\leq i\leq n$ designa una unidad, y $k\in\mathbb{Z}$ es una "medida" realizada en esa unidad. Colocamos una arista dirigida desde $(i,k)$ a $(j,\ell)$ siempre que $$ \ell = \lfloor k \cdot u_i/u_j \rceil $$ donde $\lfloor—\rceil$ significa "el entero más cercano a" (es decir, $\lfloor x\rceil = \lfloor x+\frac{1}{2}\rfloor$ ). Quizás asumir que todos los $u_i/u_j$ son irracionales, por lo que nunca hay ambigüedad en cuanto a lo que significa el número entero más cercano. En otras palabras, podemos obtener de $(i,k)$ a $(j,\ell)$ mediante la conversión de la unidad $u_i$ en la unidad $u_j$ y redondeando el resultado al número entero más cercano.

Pregunta: ¿existe $u_0,\ldots,u_n$ tal que el grafo que acabamos de definir tiene una componente fuertemente conectada infinita?

(En otras palabras, ¿podemos encontrar unidades tales que se puedan alcanzar infinitos valores diferentes entre sí mediante la conversión entre estas unidades y el redondeo al número entero más próximo?)

Answer 1

Para un vértice $(i,k)$ es razonable definir su valor como $ku_i$ . Demostramos que el valor no puede crecer demasiado, lo que establece una respuesta negativa a la pregunta.

Dejemos que $v$ sea el valor actual, y que $V>v$ sea un número real tal que $\{V/u_i\}<1/2$ para todos $i$ . Tal $V$ existe: podemos empezar eligiendo un $w>0$ tal que $0<\{w/u_i\}<\frac12$ y luego aproximar esos valores mediante $\{V/u_i\}$ debido a Kronecker.

Afirmamos que el valor no puede superar $V$ . En efecto, si el valor actual $ku_i$ no supera $V$ entonces $ku_i/u_j$ se redondea a un máximo de $\lfloor V/u_j\rfloor$ (¡comprueba las esquinas de los paréntesis!), para que el nuevo valor no supere $V$ .