¿Podría alguien explicarme la definición de un ideal primo y un ideal propio? Sinceramente, no entiendo este concepto.
Si es posible, explique su versión de la definición de la manera más descerebrada posible. Imagínese que está tratando de explicar esto a un niño pequeño, cómo le ayudaría a entender el concepto. Sólo necesito una explicación clara y significativa.
Espero que alguien me ayude. Gracias.
He aquí una respuesta en los términos más sencillos que puedo manejar, utilizando el conjunto (anillo) $\mathbb{Z}$ de enteros como ejemplo. Asumiré que sabes lo que es un ideal.
$3 \mathbb{Z} = \{ \ldots -3, 0, 3, 6, \ldots \}$ es un ideal en $\mathbb{Z}$ . Es apropiado porque no es todo $\mathbb{Z}$ . El único ideal de $\mathbb{Z}$ que no es propio es $\mathbb{Z}$ sí mismo.
Para cualquier número entero $n$ el conjunto $n\mathbb{Z}$ de múltiplos de $n$ es un ideal. Es un ideal apropiado a menos que $n = \pm 1$ .
La idea de un ideal primario es un poco más complicada. El anillo de los números enteros es un anillo muy bonito con una propiedad muy bonita que ya conoces de la escuela primaria: todo número entero es el producto único de números enteros primos. La prueba de este hecho depende de un hecho más simple: siempre que un número primo $p$ divide un producto de dos números debe dividir uno o el otro (o ambos) .
Ahora veamos qué dice esto sobre el ideal $p\mathbb{Z}$ cuando $p$ es un número primo. Supongamos que $ab \in p\mathbb{Z}$ . Entonces $p$ divide $a$ o $b$ (o ambos), por lo que $a$ o $b$ (o ambos) está en $p\mathbb{Z}$ .
Esa es la motivación de esta definición: un ideal $I$ es primo, siempre que $ab \in I$ uno o ambos $a$ y $b$ está en $I$ .
Para el anillo de enteros, $n\mathbb{Z}$ es un ideal primo justo cuando $n$ es un número primo.
Para anillos más generales, es posible que no se puedan decir cosas bonitas sobre los elementos primos, pero se pueden demostrar teoremas sobre los ideales primos. Por eso se hace esa definición.
La página de wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_ideal tiene ejemplos de otros anillos.
No sé si esta explicación funcionaría para un niño pequeño, pero estoy bastante seguro de que podría hacer que tuviera sentido para los buenos alumnos de sexto curso con los que salgo a veces. Tendría que explicar un poco primero lo que es un anillo, pero les gustaría.
En primer lugar $\mathbf Z_3$ es un anillo, no un ideal, y mucho menos un ideal primo.
A principal ideal es un ideal $P$ (es decir, un subconjunto de un anillo que es estable por adición, y por multiplicación por un elemento del anillo), que además tiene la propiedad de que siempre que un producto $xy\in P$ Al menos uno de los factores $x,y$ se encuentra en $P$ . Es la versión ideal-teórica del número de un número primo, o de un polinomio irreducible.
En términos de anillos de cociente, un ideal $P$ en el anillo A $ is prime if and only if the quotient ring $ A/P$ es un dominio integral.
Como ejemplo, un número natural $p$ es primo si y sólo si el ideal principal $p\mathbf Z$ es un ideal primo.
A ideal adecuado es simplemente un ideal que es diferente de todo el anillo.
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