Aquí hay un escrito de este problema exacto que hice hace unos meses. Esto es sólo el caso especial para i.i.d $\mathsf{N}(0,1)$ pero sólo debería desviarse por unas pocas constantes multiplicativas del caso general.
Derivación de la distribución Chi-Cuadrado
Se trata de encontrar la FCD de la distribución Chi-Cuadrado, es decir, una función tal que para $n$ i.i.d normalmente distribuido CRVs $Z_1,...,Z_n\sim\mathsf{N}(0,1)$ $$\Xi(\chi^2)=\Pr\left(\sum_{i=1}^n {Z_i}^2< \chi^2\right)$$ Para empezar consideramos el vector aleatorio $$\underline{Z}=(Z_1,...,Z_n)^{\mathrm{T}}$$ Que se distribuye según el PDF $$\varphi(\underline{z})= \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi }\right)^n}\exp\left(\frac{-\Vert\underline{z}\Vert^2}{2}\right)$$ Así que entonces $$\Pr\left(\Vert\underline{Z}\Vert^2<\chi^2\right)=\int\limits_{\mathcal{B}(0,\chi)}\varphi(\underline{z})\mathrm{d}V$$ Para ello suponemos $n>3$ y convertirlo en coordenadas hiperesféricas. El $n=1,2$ Los casos son fáciles y se pueden trabajar individualmente. $$z_1=r\cos(\theta_1)~;~z_n=r\prod_{i=1}^{n-1}\sin(\theta_i)$$ Y para $k\notin \{1,n\}$ $$z_k=r\cos(\theta_k)\prod_{i=1}^{k-1}\sin(\theta_i)$$ En este sistema de coordenadas el elemento de volumen es $$\mathrm{d}V=r^{n-1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta_{n-1}\prod_{k=1}^{n-2}\sin^{n-k-1}(\theta_k)\mathrm{d}\theta_k$$ Entonces nuestra integral es $$\frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\right)^n}\underbrace{\int\limits_0^\pi \cdots\int\limits_0^\pi}_{n-2\text{ of these}}\int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\chi \exp\left(\frac{-r^2}{2}\right)r^{n-1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta_{n-1}\prod_{k=1}^{n-2}\sin^{n-k-1}(\theta_k)\mathrm{d}\theta_k$$ Podemos expresar la $r$ integral en términos de la función Gamma incompleta inferior $$\int_0^\chi \exp\left(\frac{-r^2}{2}\right)r^{n-1}\mathrm{d}r=\left(\sqrt{2}\right)^{n-2}\gamma\left(\frac{n}{2},\frac{\chi^2}{2}\right)$$ Por lo tanto, después de integrar con respecto a $\theta_{n-1}$ $$\Pr(\Vert\underline{Z}\Vert^2<\chi^2)=\frac{\gamma\left(\frac{n}{2},\frac{\chi^2}{2}\right)}{\sqrt{\pi}^{n-2}} \int\limits_0^\pi \cdots\int\limits_0^\pi\prod_{k=1}^{n-2}\sin^{n-k-1}(\theta_k)\mathrm{d}\theta_k$$ A partir de aquí hacemos uso de la identidad integral $$\int_0^\pi \sin^m(x)\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}\frac{\Gamma\left(\frac{m}{2}+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m }{2}+1\right)}\tag1{}$$ Así que $$\Pr(\Vert\underline{Z}\Vert^2<\chi^2)=\gamma\left(\frac{n}{2},\frac{\chi^2}{2}\right)\prod_{k=1}^{n-2}\frac{\Gamma\left(\frac{n-k}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-k+1}{2}\right)}\tag{2}$$ El producto anterior (2) se simplifica bastante bien, y obtenemos la FCD de chi-cuadrado $$\Xi(x;n):=\Pr(\Vert\underline{Z}\Vert^2<x)=\frac{\gamma\left(\frac{n}{2},\frac{x}{2}\right)}{\Gamma(n/2)}$$ Que podemos diferenciar para obtener el PDF de chi cuadrado: $$\xi(x;n)=\frac{x^{n/2-1}e^{-x/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}$$
PRUEBAS DE LAS IDENTIDADES (1),(2) Empezaremos con la integral - $$I_m=\int_0^\pi \sin^m(x)\mathrm{d}x$$ Integrar por partes. Que $u=\sin^{m-1}(x)$ , $\mathrm{d}v=\sin(x)\mathrm{d}x$ $$I_m=\int_0^\pi u~\mathrm{d}v=\underbrace{(uv)\big|^\pi_0}_{\sin0=\sin\pi=0}-\int_0^\pi v~\mathrm{d}u$$$$I_m=(m-1)\int_0^\pi\cos^2(x)\sin^{m-2}(x)\mathrm{d}x$$$$\frac{I_m}{m-1}=\int_0^\pi \sin^{m-2}(x)\mathrm{d}x-\int_0^\pi \sin^m(x)\mathrm{d}x$$ Así que tenemos una relación de recurrencia $$\frac{I_m}{m-1}+I_m=I_{m-2}\text{ or, equivalently }I_{m+2}=\frac{m+1}{m+2}I_m$$ Con los datos iniciales $I_0=\pi=\Gamma(1/2)^2$ , $I_1=2$ . Se puede comprobar que $$I_m=\sqrt{\pi}\frac{\Gamma\left(\frac{m+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}+1\right)}$$ Satisface la recurrencia. También se podría obtener la solución de forma constructiva utilizando la propiedad recursiva de Gamma, a saber, $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ en el denominador y la fórmula de duplicación de Legendre en el numerador: $$\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}\Gamma(z)\Gamma(z+1/2)}{\sqrt{\pi}}$$ Esto da que para los enteros $m$ , $$\Gamma\left(\frac{m}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}(m-1)!}{2^{m-1}\Gamma(m/2)}$$ Así que se podría escribir la solución como $$I_m=\frac{\pi}{2^{m-2}m}\frac{(m-1)!}{\Gamma(m/2)^2}|m\neq0$$ Quizás esto sea más fácil de obtener dadas nuestras condiciones iniciales.
Ahora la prueba de la identidad del producto, $$P_n=\prod_{k=1}^{n-2}\frac{\Gamma\left(\frac{n-k}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-k+1}{2}\right)}=\frac{1}{\Gamma(n/2)}$$ Podemos hacer un cambio de índice: $$\prod_{k=1}^{n-2}\frac{\Gamma\left(\frac{n-k}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-k+1}{2}\right)}=\prod_{k=2}^{n-1}\frac{\Gamma(k/2)}{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}$$ Podemos volver a cambiar el índice a $$P_n=\prod_{k=1}^{n-2}\frac{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k+2}{2}\right)}=\frac{\prod_{i=2}^{n-1}\Gamma(i/2)}{\prod_{j=3}^{n}\Gamma(j/2)}$$ Ampliando, $$P_n=\frac{\Gamma(2/2)\Gamma(3/2)...\Gamma((n-1)/2)}{\Gamma(3/2)...\Gamma((n-1)/2)\Gamma(n/2)}$$ Por lo tanto, $$P_n=\frac{1}{\Gamma(n/2)}.$$
