Encontrar el signo del coeficiente principal de una ecuación cuadrática

Question

En una ecuación cuadrática dada $f(x)=ax^2+bx+c$ si $f(-1)>-4, f(1)<0$ y $f(3)>5$ Entonces, ¿cómo puedo encontrar el signo de $a$ ? Respuesta en el libro de texto: $a>0$

Answer 1

Si $a=0$ Entonces tienes una línea recta. Entonces $$f(1)=\frac{f(-1)+f(3)}2>\frac{-4+5}2=\frac 12>0$$ Entonces para una parábola con $a>0$ tienes $$f(\frac{x+y}2)<\frac{f(x)+f(y)}2$$ y para $a<0$ tienes $$f(\frac{x+y}2)>\frac{f(x)+f(y)}2$$ Desde $$\frac{f(-1)+f(3)}2>0$$ y $$f(1)<0$$ entonces $$f(\frac{-1+3}2)<\frac{f(-1)+f(3)}2$$

Answer 2

Lo tienes:

$$a - b + c > - 4 \tag{1}$$ $$-a - b - c > 0 \tag{2}$$ $$ 9a + 3b + c > 5 \tag{3}$$

Aquí hay una idea... tratemos de encontrar positivo números $t, p, q$ tal que al multiplicar (1) por $t$ (2) por $p$ y (3) por $q$ y luego se suman las 3 desigualdades, el $b$ y $c$ se eliminaría.

Este requisito (para la eliminación de $b$ y $c$ ) nos da:

$$-t-p+3q = 0$$ y $$t-p+q = 0$$

La resolución de este sistema (para $t$ y $p$ ) nos da: $t=q$ y $p=2q$ .

Así que podemos utilizar, por ejemplo $q=1, p=2, t=1$

Así que tenemos:

$$a - b + c > - 4 \tag{1'}$$ $$-2a - 2b - 2c > 0 \tag{2'}$$ $$ 9a + 3b + c > 5 \tag{3'}$$

Ahora sumando estas 3 desigualdades obtenemos:

$$8a \gt 1$$

Answer 3

Poniendo los valores en la supuesta forma cuadrática

$$a - b + c > - 4$$ $$-a - b - c > 0$$ $$ 9a + 3b + c > 5$$

Al sumar las dos primeras desigualdades, tenemos

$$-2b > -4 \implies b < 2$$

Ahora, si sumamos la segunda y la tercera desigualdad, obtenemos

$$8a + 2b > 5 \implies 4a + b > 5$$

Pero como $b < 2$ Esto significa que $4a > 3$ para que esto sea cierto

$$\implies a > \frac{3}{4} > 0$$