Evaluación de $\lim_{n\rightarrow \infty}n\int_{0}^{1}\left(\cos x-\sin x\right)^n\text{ d}x$

Question

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n\int_{0}^{1}\left(\cos x-\sin x\right)^n\text{ d}x$$

A) $ \infty$

B) $ 0$

C) $ 1$

D) $ \frac{1}{2}$

E) $\cos 1$

Fuente: admisión 2015 Universidad Técnica de Cluj-Napoca

Lo he intentado con este resultado, pero no sé si se mantiene

Si $f:[a,b]\rightarrow R$ f es diferenciable con derivada distinta de cero, y $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\int_a^b f^n(x)dx=0$ entonces $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n \cdot \int_a^b f^n(x)dx=\lim_{n\to\infty} \left(\frac{f^n(b)}{f'(b)}-\frac{f^n(a)}{f'(a)}\right)$

Utilicé $f(x) = cosx - sinx $ pero no estoy seguro de si $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\int_a^b f^n(x)dx=0$

Yo también lo he intentado con esto, $\cos x-\sin x= \frac{2}{\sqrt{2}}\cos (x+\frac{\pi}{4})$ pero en un momento dado no puedo continuar... Puedo encontrar una fórmula de recurrencia, pero es muy complicada y no puedo ver el límite...

Answer 1

Dejemos que $f(x)=\cos x-\sin x$ . Observamos que para $x\in[0,1]$ El máximo de $f(x)$ se produce en $x=0$ para lo cual $f(0)=1$ .

Y para cualquier número $0<a < \pi/4$ , $x\in [a,\pi/4]$ , $0<f(x)<\cos( a) -\sin (a)<1$ .

Ahora, elegimos un número positivo $\delta<\pi/2-1$ . Entonces, escribimos la integral de interés como la suma

$$\begin{align} \int_0^1 (\cos x-\sin x)^n\,dx&=\int_{0}^{\delta} (\cos x-\sin x)^n\,dx+\int_{\delta}^{\pi/2-1} (\cos x-\sin x)^n\,dx\\\\ &+\int_{\pi/2-1}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)^n\,dx+\int_{\pi/4}^{1}(\cos x-\sin x)^n\,dx\\\\ &=\int_{0}^{\delta} (\cos x-\sin x)^n\,dx+\int_{\delta}^{\pi/2-1} (\cos x-\sin x)^n\,dx \tag 1\\\\ &+(1+(-1)^n)\int_{\pi/2-1}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)^n\,dx \end{align}$$

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Ahora, podemos ver que las integrales segunda y tercera del lado derecho de $(1)$ son positivos y están limitados por $(1-\pi/4)(\cos \delta-\sin \delta)^n$ y $2(1-\pi/4)(\sin (1)-\cos (1))^n$ respectivamente. Por lo tanto,

$$\lim_{n\to \infty}n\int_{\delta}^1(\cos x-\sin x)^n\,dx=0$$

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Para la primera integral del lado derecho de $(1)$ se procede de la siguiente manera. Dado cualquier $\epsilon>0$ Ahora elegimos $0<\delta<\epsilon$ . Entonces, utilizando el teorema del valor medio, encontramos que para $x\in[0,\delta]$ la función $f$ satisface las desigualdades

$$1-(1+\epsilon)x \le f(x)\le 1-x \tag 2$$

Aplicando $(2)$ a la primera integral del lado derecho de $(1)$ rinde

$$n\int_{0}^{\delta}\left(1-(1+\epsilon)x\right)^n\,dx\le n\int_{0}^{\delta} (\cos x-\sin x)^n\,dx\le n\int_{0}^{\delta} (1- x)^n\,dx \tag 3$$

La evaluación de las integrales en $(3)$ que se limita a $ n\int_{0}^{\delta} (\cos x-\sin x)^n\,dx$ revela

$$\frac{n}{n+1}\frac{\left(1-(1-(1+\epsilon)\delta)^{n+1}\right)}{1+\epsilon}\le n\int_{0}^{\delta} (\cos x-\sin x)^n\,dx\le \frac{n}{n+1}\left(1-(1-\delta)^{n+1}\right) \tag 3$$

Utilizando el teorema de la compresión ( $n\to \infty$ ) vemos que para cualquier $\epsilon>0$ podemos elegir $0<\delta <\epsilon$ para que

$$1-\epsilon\le \frac{1}{1+\epsilon}\le \lim_{n\to \infty}n\int_{0}^{\delta} (\cos x-\sin x)^n\,dx\le 1$$

Por lo tanto, tenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to \infty}n\int_{0}^{\delta} (\cos x-\sin x)^n\,dx=1}$$