¿Es necesario que los elementos finitos sean disjuntos?

Question

Al buscar la descripción de la etiqueta (finite-element-method), vimos lo siguiente :

\[ .. \] It consists of a method of discretization splitting the domain
into disjoint subdomains \[ .. \]
Echa un vistazo a la siguiente imagen. Supongamos que tenemos dos mallas de elementos finitos, que cubren el mismo dominio de interés. ¿Pueden unirse para formar una malla de elementos triangulares superpuestos que también funcione?

Supongamos que la discretización en la malla de la izquierda conduce a las ecuaciones : $\mathbf{S_L x_L} = \mathbf{b_L}$ .
Supongamos que la discretización en la malla de la derecha conduce a las ecuaciones : $\mathbf{S_R x_R} = \mathbf{b_R}$ .
La unión de estas dos mallas corresponde entonces a : $\left(\mathbf{S_L} + \mathbf{S_R}\right) \mathbf{x_U} = \left(\mathbf{b_L}+ \mathbf{b_R}\right)\,$ .
Esto seguramente se cumple si $\mathbf{x_U} = \mathbf{x_L}$ y $\mathbf{x_U} = \mathbf{x_R}$ . Pero todo lo que sabemos es que La izquierda y la derecha son mallas decentes, que conducen a la solución "verdadera" tras un refinamiento suficiente. Por lo tanto, sabemos que $\mathbf{x_L}$ y $\mathbf{x_R}$ no son demasiado diferentes al final: $$ \mathbf{x_R} = \mathbf{x_L} + \mathbf{\Delta} \quad \mbox{with} \quad \mathbf{\Delta} \to \mathbf{0} $$ Podemos concluir aquí que la malla Unida también conduce a una solución aproximada decente $\mathbf{x_U}$ ?

EDITAR. Supongamos que $\mathbf{x_U} \approx \frac{1}{2}\left(\mathbf{x_L}+ \mathbf{x_R}\right)$ y calcular el residuo en alguna norma adecuada $\left\|\right\|$ : $$ \left\| \left(\mathbf{S_L} + \mathbf{S_R}\right) \mathbf{x_U} - \left(\mathbf{b_L}+ \mathbf{b_R}\right)\right\| = \\ \left\|\mathbf{S_L}\frac{1}{2}\mathbf{x_L} + \mathbf{S_L}\frac{1}{2}\left(\mathbf{x_L}+\mathbf{\Delta}\right) + \mathbf{S_R}\frac{1}{2}\left(\mathbf{x_R}-\mathbf{\Delta}\right) + \mathbf{S_R}\frac{1}{2}\mathbf{x_R} - \left(\mathbf{b_L} + \mathbf{b_R}\right)\right\|= \\ \frac{1}{2}\left\|\left(\mathbf{S_L}-\mathbf{S_R}\right)\mathbf{\Delta}\right\| \le \frac{1}{2}\left\|\mathbf{S_L}-\mathbf{S_R}\right\|\left\|\Delta\right\| \quad \mbox{with} \quad \left\|\Delta\right\| \to 0 $$ De hecho, el residuo es incluso menor de lo que se podría pensar, ya que sólo la diferencia del elemento cuadrilátero diagonal ( $\color{red}{\mbox{Left}}$ menos $\color{green}{\mbox{Right}}$ ) sigue presente en $\,\left(\mathbf{S_L}-\mathbf{S_R}\right)$ :

Answer 1

También en la descripción del ( método de elementos finitos ) tag se dice que

It is closely tied to the calculus of variations.
Consideremos entonces la siguiente integral variacional: $$ \\iint \\left\[ \\left(\\frac{\\partial \\phi}{\\partial x}\\right)^2 + \\left(\\frac{\\partial \\phi}{\\partial y}\\right)^2 \\right\] dx\\,dy = \\mbox{minimum}(\\phi) $$ En la metodología de los elementos finitos, por regla general, se distinguen dos sistemas de coordenadas: _global_ coordenadas $\\,(x,y)$ - aplicable a todo el ámbito de interés - y _local_ coordenadas $\\,(\\xi,\\eta)$ - aplicable a un solo elemento. De este modo se induce una cartografía entre las coordenadas locales y las globales. Este mapeo se denomina _isoparamétrico_ si cada función $\\,f\\,$ en un elemento -las coordenadas globales no son una excepción- se expresa en las coordenadas locales, de la misma manera. Así, tenemos $\\,\\phi(\\xi,\\eta)$ , $x(\\xi,\\eta)$ , $y(\\xi,\\eta)$ . Y todas ellas son expresiones similares; los ejemplos se presentan a continuación.

Por supuesto, nos interesan principalmente los derivados globales $\,\partial \phi / \partial x\,$ y $\,\partial \phi / \partial y$ . ¿Cómo se pueden expresar en coordenadas locales? De la siguiente manera. Aplicar la regla de la cadena para las derivadas parciales, comenzando en el sistema de coordenadas locales: $$ \begin{cases} \large \frac{\partial \phi}{\partial \xi} = \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \large \frac{\partial \phi}{\partial \eta} = \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \eta} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \eta} \end{cases} $$ Dos ecuaciones con dos incógnitas. Se pueden resolver con La regla de Cramer : $$ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \large \frac{\frac{\partial \phi}{\partial \xi}\frac{\partial y}{\partial \eta} - \frac{\partial y}{\partial \xi}\frac{\partial \phi}{\partial \eta}} {\frac{\partial x}{\partial \xi} \frac{\partial y}{\partial \eta} - \frac{\partial y}{\partial \xi}\frac{\partial x}{\partial \eta}} $$ $$ \frac{\partial \phi}{\partial y} = \large \frac{\frac{\partial x}{\partial \xi}\frac{\partial \phi}{\partial \eta} - \frac{\partial \phi}{\partial \xi}\frac{\partial x}{\partial \eta}} {\frac{\partial x}{\partial \xi} \frac{\partial y}{\partial \eta} - \frac{\partial y}{\partial \xi}\frac{\partial x}{\partial \eta}} $$ El elemento finito más sencillo en dos dimensiones es un triángulo lineal :

Los valores de los vértices de una función arbitraria $f$ en un triángulo lineal se interpolan por: $$ f(\xi,\eta) = (1-\xi-\eta).f_1+\xi.f_2+\eta.f_3 $$ El propio significado de un transformación isoparamétrica es que nosotros así tener: $$ \begin{cases} x(\xi,\eta) = (1-\xi-\eta).x_1+\xi.x_2+\eta.x_3 \\ y(\xi,\eta) = (1-\xi-\eta).y_1+\xi.y_2+\eta.y_3 \\ \phi(\xi,\eta) = (1-\xi-\eta).\phi_1+\xi.\phi_2+\eta.\phi_3 \end{cases} $$ Por tanto, no es necesario calcular las derivadas locales por separado. Basta con sustituir por $\,f\,$ la función "verdadera", que es $\,x\,$ o $\,y\,$ o $\,\phi$ : $$ \frac{\partial f}{\partial \xi} = f_2-f_1 \quad ; \quad \frac{\partial f}{\partial \eta} = f_3-f_1 \quad \mbox{with} \quad f = x,y,\phi $$ A continuación, eche un vistazo a Interpolación de cuadriláteros :

Si el elemento padre del cuadrilátero de la izquierda es $\left[-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right]\times\left[-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right]$ entonces tenemos tenemos para una función arbitraria $f$ en el elemento de la derecha: $$ f(\xi,\eta) = \left(\frac{1}{2}-\xi\right)\left(\frac{1}{2}-\eta\right)f_1 + \left(\frac{1}{2}+\xi\right)\left(\frac{1}{2}-\eta\right)f_2 \\ + \left(\frac{1}{2}-\xi\right)\left(\frac{1}{2}+\eta\right)f_3 + \left(\frac{1}{2}+\xi\right)\left(\frac{1}{2}+\eta\right)f_4 $$ Y para sus derivadas, en el vértice $(1)$ en particular: $$ \frac{\partial f}{\partial \xi} = \left(\frac{1}{2}-\eta\right)(f_2-f_1) + \left(\frac{1}{2}+\eta\right)(f_4-f_3) \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial \xi}(\eta = -1/2) = f_2-f_1\\ \frac{\partial f}{\partial \eta} = \left(\frac{1}{2}-\xi\right)(f_3-f_1) + \left(\frac{1}{2}+\xi\right)(f_4-f_2) \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial \eta}(\xi = -1/2) = f_3-f_1 $$ Donde de nuevo debemos reemplazar nuestro maniquí $\,f\,$ por las verdaderas funciones $\,x,y,\phi\,$ para ocuparse de lo real.

Ahora se observa fácilmente que todas las derivadas locales en el vértice $(1)$ del cuadrilátero son exactamente iguales como todas las derivadas locales en el triángulo lineal $(1,2,3)$ . Por simetría, podemos incluso concluir que las derivadas locales en cualquier esquina del cuadrilátero son exactamente las mismas que las derivadas locales en el triángulo correspondiente a esa esquina. Pero entonces lo mismo ocurre con las derivadas globales $\,\partial \phi / \partial x\,$ y $\,\partial \phi / \partial y$ , porque la fórmula analítica que las expresa en las derivadas locales es la misma para todos los elementos (isoparamétricos). Por último, pero no por ello menos importante, la formulación analítica y numérica de los elementos de área tampoco supone ninguna diferencia: $$ dx\,dy = \frac{1}{4}\left[\frac{\partial x}{\partial \xi} \frac{\partial y}{\partial \eta} - \frac{\partial y}{\partial \xi}\frac{\partial x}{\partial \eta}\right]d\xi\,d\eta $$ Cuando se especifica para la esquina $(1)$ , cuadrilátero así como triángulo (cada triángulo superpuesto contaba la mitad de su peso/área): $$ dx\,dy = \frac{1}{4}\left[(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)\right]d\xi\,d\eta $$ En consecuencia, los puntos de integración en los vértices de un cuadrilátero no se puede distinguir de cuatro triángulos superpuestos en las esquinas de ese cuadrilátero:

Todos los componentes matemáticos de ambas discretizaciones son los mismos en esta integral variacional: $$ \iint \left[ \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2 \right] dx\,dy = \mbox{minimum}(\phi) $$ Así que, efectivamente: Los elementos finitos necesitan no sean disjuntos en sí mismos. En cuanto a los puntos de integración:
¿Existe alguna cuadratura bidimensional que sólo utilice los valores de los vértices de los triángulos?