Automorfismos de U(1)

Question

Probablemente se trate de una pregunta muy sencilla, pero agradecería alguna aclaración.

Así que $U(1)$ es un grupo abeliano de Lie. Como es abeliano, todos los elementos del grupo conmutan entre sí, lo que significa que el centro del grupo es el propio grupo.

Desde $$\text{Inn}(G)=G/Z\implies \text{Inn}(U(1))=\mathcal{I} $$

Me gustaría conocer los automorfismos exteriores

$$\text{Out}(G)=\text{Aut}(G)/\text{Inn}(G) $$

Sin embargo no conozco el grupo de automorfismo para poder hacer esta deducción.

Answer 1

En primer lugar, debemos distinguir entre el grupo de automorfismo continuo y el grupo de automorfismo abstracto.

Afirmo que existe un único automorfismo continuo no identitario de $S^1$ .

En primer lugar, ya que $S^1$ es abeliano, el mapa de inversión $i:S^1\rightarrow S^1$ es un isomofismo continuo.

¿Por qué es el único? Deja que $g:S^1\rightarrow S^1$ sea cualquier automorfismo continuo. Si $\pi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1$ es la proyección canónica, entonces el mapa $\pi \circ g$ se eleva a un único mapa continuo $\tilde{g}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ con $\tilde{g}(0) = 0$ . Se puede comprobar fácilmente que $\tilde{g}$ es un homomorfismo, que $\tilde{g}$ satisface el Ecuación funcional de Cauchy. En particular, $\tilde{g}(x) = cx$ para alguna constante $c\in \mathbb{R}$ .

Ahora, porque $\tilde{g}(\mathbb{Z})\subseteq \mathbb{Z}$ se deduce que $g(1) = c\in \mathbb{Z}$ . Esto establece que todo homomorfismo continuo $S^1\rightarrow S^1$ es de la forma $z\rightarrow z^c$ con $c$ un número entero. (En este caso, estamos pensando en $S^1$ como los números complejos unitarios). A continuación, observe que si $|c|\neq 1$ este mapa no es inyectivo. Así que hay precisamente dos automorfismos continuos de $S^1$ la identidad y la inversa.

Ahora, si uno está simplemente interesado en el grupo de automorfismo teórico de $S^1$ , entonces hay una tonelada más (suponiendo que creas en el axioma de la elección.)

Para ver esto, observe que, como se muestra en este sorprendente post , $S^1$ es, en teoría de grupos, isomorfo a $\mathbb{C}^\times$ . En particular, todo automorfo de $\mathbb{C}$ como campo puede pensarse como un isomorfismo de grupo de $S^1$ . Según este puesto Hay precisamente $2^{|\mathbb{R}|}$ tales automorfismos.

(Nótese que es posible que un auotomorfismo de $S^1\cong \mathbb{C}^\times$ hace no se extienden a un isomorfismo de campo de $\mathbb{C}$ por lo que puede haber incluso más automorfismos de $S^1$ . Esto también puede permitir crear automorfismos discontinuos incluso en ausencia de elección, pero no estoy seguro de lo que ocurre en ese caso).

Answer 2

Escribe $U(1)=\{e^{ix},x\in R\}$ . Sea $f$ sea un automorfismo de $U(1)$ , $f(e^{ix})=e^{ig(x)}$ ,

Supongamos que $f$ es continuar, $f(e^{ix}e^{iy})=f(e^{i(x+y)})=$ $f(e^{ix})f(e^{iy})$ $=e^{ig(x+y)}=e^{ig(x)+g(y)}$ implica que $h(x,y)=e^{i(g(x+y)-g(x)-g(y))}=1$ . Desde $h$ es continua, deducimos que existe tal que $g(x+y)-g(x)-g(y)=2\pi n$ . Escribe $l(x)=g(x)+2\pi n$ se deduce que $l$ es lineal, $l(x)=ax$ y $f(x)=e^{iax}$ .