¿Cómo se utiliza el cardenal Mahlo?

Question

Me gustaría saber cómo se utilizan los cardenales de Mahlo, ya que estos ejemplos pueden ayudarme a entender por qué se crearon y demás.

Answer 1

Aquí está un uso limpio de los cardenales de Mahlo del que me he enterado recientemente:

Denotemos, para un cardinal incontable $\kappa$ , por $\square_\kappa$ la declaración que afirma la existencia de una secuencia $\langle C_\alpha\mid\alpha<\kappa^+\rangle$ con las siguientes propiedades:

1. $C_\alpha\subseteq\alpha$ es un club en $\alpha$ .
2. El tipo de orden de $C_\alpha$ es menor o igual que $\kappa$ . (A veces se encuentra el requisito de que si la igualdad puede ocurrir sólo cuando sea necesario, es decir $\operatorname{cf}(\alpha)=\kappa$ .)
3. Si $\beta$ es un punto límite de $C_\alpha$ entonces $C_\alpha\cap\beta=C_\beta$ .

Jensen demostró que $\square_\kappa$ tiene en $L$ para todos los incontables $\kappa$ . También demostró que si $V\models\lnot\square_\kappa$ entonces $(\kappa^+)^V$ es Mahlo en $L$ . Además, Solovay demostró que si $\kappa$ es Mahlo, y $\lambda<\kappa$ es regular, entonces existe una extensión forzada en la que $\kappa=\lambda^+$ y $\lnot\square_\lambda$ no lo hace.

Por lo tanto, los cardenales de Mahlo se utilizan para negar las casillas de los cardenales normales.

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Hay que señalar que la definición de cardenal de Mahlo es anterior a estas pruebas en tres o cuatro décadas. Esto no tiene mucho que ver con la historia y las definiciones originales de un cardenal de Mahlo, pero sí señala un uso interesante para ellos.