Definición formal de integral de línea a lo largo de un camino reversible e irreversible

Question

En termodinámica, el trabajo puede realizarse moviéndose por una ruta reversible o irreversible. La definición física de proceso reversible e irreversible es muy común en los libros de termodinámica. ¿Qué significa esto matemáticamente? ¿Cómo formalizarlo? El trabajo es la integral de línea de una forma diferencial. $$W=\int_{L} P(x, y, z) dx+Q(x, y, z) dy+R(x, y, z) dz$$ donde L es la ecuación de la curva. Si el trabajo es una función de p y V, ¿significa esto que hay curvas en el plano p-V que tienen la propiedad de ser rutas reversibles o irreversibles?

Answer 1

Su concepto de $L$ es incorrecto.

Las ecuaciones como $f(x,y,z)=0$ no definen curvas, en cambio generalmente definen superficies. Por ejemplo, $x+y+z=1$ es un plano plano.

En cambio, al definir una curva a lo largo de la cual tomar una integral de trayectoria, se utiliza una curva $L$ que se define de manera paramétrica, como sigue: $$L(t) = (f(t),g(t),h(t)) \quad\text{para algún intervalo $a \le t \le b$} $$ Entonces la integral de trabajo se convierte en $$W =\int_{L} P(x, y, z) \, dx+Q(x, y, z) \, dy+R(x, y, z)\, dz$$ $$ = \int_a^b \left(P(f(t),g(t),h(z)) \frac{df}{dt} + Q(f(t),g(t),h(t)) \frac{dg}{dt} + R(f(t),g(t),h(t)) \frac{dh}{dt}\right) dt $$ Esto no tiene nada que ver con si la trayectoria $L$ es reversible o irreversible: esta ecuación es la definición del trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la trayectoria $L$, a través del campo de fuerza dado por $P$, $Q$ y $R$.