Dada la distribución conjunta $f(x,y) = {x \choose y} (\frac{1}{2})^x \frac{x}{20}$ donde $y=0,1,2 \cdots x$ y $x=2,3,4,5,6$ . Encuentre $E(y\mid x)$ y $E(y)$
Me pregunto si me estoy perdiendo algo.
Utilizando la identidad binomial y la definición directa de $f(x)$ (el límite era de la trama que hice):
$f(x) = (\frac{1}{2})^x \frac{x}{20} \sum_{y=0}^x {x \choose y} =(\frac{1}{2})^x \frac{x}{20} 2^{x} = \frac{x}{20} $
Utilice $f(x)$ para calcular $f(y\mid x)$ dado que la distribución conjunta está dada:
De modo que $f(y\mid x) = \frac{f(x,y)} {f(x)} = \frac{ {x \choose y} (\frac{1}{2})^x \frac{x}{20}}{ \frac{x}{20}} = {x \choose y} 2^{-x} $
$E(y \mid x) = \sum_{y=0}^{x} y f(y\mid x) = 2^{-x} \sum_{y=0}^{x} {x \choose y} y $
Entonces: Usando la identidad : $ \sum_{y=0}^{x} {x \choose y} y = x 2^{x-1} $
$E(y \mid x) = \sum_{y=0}^{x} y f(y\mid x) = 2^{-x} \sum_{y=0}^{x} {x \choose y} y = x (2^{-x} \cdot 2^{x-1}) = \frac{x}{2} $
¿Tiene esto sentido?
¿Cómo es que $E(y)$ sigue, supongo $E(y) = E(E(y \mid x))$
$E(y) = E(E(y \mid x))$
$E(y) = E(E(y \mid x)) = \sum_{x=2}^6 \frac{x}{20} (2^{-x} \sum_{y=0}^{x} {x \choose y} y) = \frac{1}{40}\sum_{x=2}^6 x^2 $
