¿Algún ejemplo pedagógico de funciones medibles en S?

Question

(Actualmente estoy estudiando del libro de Axler, http://measure.axler.net/MIRA.pdf en caso de que su terminología no sea estándar). Para el más sencillo $\sigma$ -álgebra en $X$ : $\mathcal S = \{\varnothing, X\}$ El único $\mathcal S$ -Las funciones medibles son las funciones constantes. En $\mathcal S = \{\varnothing, A, (X\setminus A), X\}$ El único $\mathcal S$ -Las funciones medibles son las que son constantes en $A$ y constante en $X\setminus A$ . En definitiva, son funciones realmente aburridas.

Por supuesto, saltar directamente a la mensurabilidad de Borel nos da funciones más interesantes, pero me pregunto si hay ejemplos agradables e interesantes que ayuden a enseñar la idea de sólo $\mathcal S$ -funciones medibles.

Si estuvieras enseñando $\mathcal S$ -la mensurabilidad, por ejemplo-, ¿darías algunos ejemplos explícitos o te limitarías a decir "vale, esta idea sólo es importante porque ahora voy a introducir la mensurabilidad de Borel"?

Answer 1

Algunos otros ejemplos que pueden ser interesantes de ver:

1. Dejemos que $X \neq \emptyset$ sea un conjunto y $(A_j)_{j \in \mathbb{N}}$ una partición de $X$ es decir, los conjuntos son disjuntos por pares y $\bigcup_{j \geq 1} A_j = X$ . Considere $$\mathcal{S} := \sigma(A_j; j \geq 1).$$ Una función (de valor real) $f$ est $\mathcal{S}$ -si, y sólo si, es de la forma $$f(x) = \sum_{j \geq 1} c_j 1_{A_j}(x).$$ Esto generaliza el ejemplo "trivial" que ha mencionado en su pregunta.
2. Dejemos que $X \neq \emptyset$ sea incontable y considere el co-contable $\sigma$ -Álgebra $$\mathcal{S} := \{A \subset X; \text{$ A $ or $ X \setminus A $ is countable}\}.$$ Una función (de valor real) $f$ est $\mathcal{S}$ -Si, y sólo si, es constante hasta un número contable de puntos.
3. Dejemos que $X \neq \emptyset$ y $g: X \to \mathbb{R}$ algunos mapeos. Denotemos por $$\sigma(g):= \{g^{-1}(B); B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$$ el más pequeño $\sigma$ -álgebra en $X$ tal que $g:X \to \mathbb{R}$ es medible. Una función $f: X \to \mathbb{R}$ est $\sigma(g)$ -si, y sólo si, se puede escribir en la forma $f(x)=h(g(x))$ , $x \in X$ para alguna cartografía medible $h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Este resultado se conoce como lema de factorización .

El primer y tercer ejemplo aparecen más adelante en la teoría de la probabilidad, al estudiar las expectativas condicionales y las probabilidades condicionales.