Inducción sin una base de caso

Question

Estoy buscando un ejemplo donde tenemos $P(n)$ lo que implica $P(n+1)$. Sin embargo, no hay caso base. Para el que no hay por lo tanto ninguna solución para el problema de la inducción aunque el paso inductivo sí funciona.

Answer 1

Supongamos que queremos demostrar a $n=n+1$ para todos (positivo) enteros $n$. Omitimos el caso base. La hipótesis de inducción es $k=k+1$ algunos $k\in \mathbb N$. La adición de $1$ a ambos lados da $k+1=k+1+1$ o $(k+1)=(k+1)+1$, que es la norma para ser probado para $n=k+1$. Por lo tanto, hemos completado la inducción paso, pero no hay ninguna base para esto es verdad, por lo que la instrucción no tiene que ser cierto.

Answer 2

$$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}2+\pi$$ $$1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n$$

Answer 3

(Falso) Teorema. Deje $P$ a ser, literalmente, cualquier propiedad de los elementos de $\mathbb N$. A continuación, cada elemento de a $\mathbb N$ propiedad $P$.
Prueba. Esto es cierto si todos finito no vacío de subconjuntos de a $\mathbb N$ constan de elementos con la propiedad $P$. Supongamos $n\ge 1$ y todos los elementos de los subconjuntos de a $\mathbb N$ $n$ elementos de satisfacer $P$. Deje $S\subset\mathbb N$ ha $n+1$ elementos, y elegir cualquier $x\in S$. Desde $S'=S\setminus\{x\}$ $n$ elementos, todos los miembros de $S'$ satisfacer $P$. Por otra parte, desde la $n=|S'|>0$ existe $y\in S'$. A continuación, $(S'\setminus\{y\})\cup\{x\}$ $n$ elementos, por lo $x$ propiedad$P$. q.e.d.

Answer 4

Deje $P(n)$ ser la afirmación "$1=2$". Suponga $P(k)$ es verdadera, por lo tanto $1=2$. Por supuesto, $1=2$, lo $P(k+1)$ es cierto.

Entonces, ¿qué?