Autocovarianza de los procesos Ornstein-Uhlenbeck y AR (1)

Question

La autocovarianza de un proceso Ornstein-Uhlenbeck

$$ dX(t) = \theta (\mu - X(t))dt + \sigma dW(t) $$

se da en Wikipedia como

$$ Cov(X(s),X(t)) = \frac{\sigma^2}{2\theta}(e^{-\theta|t-s|} - e^{-\theta(t+s)}) \quad \quad (1).$$

que parece depender de la época de origen ya que tiene $t+s$ plazo.

Por otro lado, el análogo en tiempo discreto del proceso O-U es el proceso AR(1) $$ X_{i+1} = \theta' (\mu' - X_i) + \sigma' Z_{i+1} $$

que tiene autocovarianza (de nuevo según Wikipedia)

$$Cov(X_{i+n},X_i) = \frac{(\sigma')^2}{1-(\theta')^2}(\theta')^{|n|} \quad \quad (2)$$

que sólo dependen del retardo $n$ . ¿Cómo se pueden conciliar ambas cosas? Puedo ver que en el límite de $t,s \to \infty$ de tal manera que $t-s = n$ , $(1)$ se convierte en

$$ Cov(X(s),X(t)) = \frac{\sigma^2}{2\theta}e^{-\theta|n|} \quad \quad (3)$$

pero no está claro cómo se relaciona con $(2)$ .

Además, si tenemos una serie temporal de realización O-U (de la que desconocemos el origen del tiempo), qué obtenemos realmente cuando calculamos la autocovarianza muestral: $(1)$ ou $(2)$ ?

Añadir 1

Si discretizo el proceso O-U, entonces obtengo

$$ X_{t+1} - X_t = \theta (\mu - X_t) \delta t + \sigma \sqrt{\delta t} Z_{t+1} $$

o después de reordenar $$ X_{t+1} = \theta \mu \delta t + (1- \theta \delta t) X_t + \sigma \sqrt{\delta t} Z_{t+1} .$$

Si comparo esto ahora con $(2)$ Veo que $\theta'= \theta \delta t - 1$ y $\sigma' = \sigma \sqrt{\delta t}$ de modo que al sustituirlo por $(3)$ Me sale

$$ Cov(X(s),X(t)) = \frac{(\sigma')^2 /\delta t}{2(1+\theta')/\delta t}e^{-\theta|n|} = \frac{(\sigma')^2}{2(1+\theta')}e^{-\theta|n|}\quad \quad (4)$$

pero todavía no tiene la forma de $(2)$ .

Answer 1

En lugar de utilizar la discretización, se puede utilizar la solución de tiempo continuo. Siguiendo las sustituciones de esta respuesta tenemos que

$$\begin{align} \sigma' &= \frac1{2\theta}\sigma^2(1-e^{-2\theta\delta t})\\ \theta' &= e^{-\theta\delta t} \end{align}$$

que, cuando se aplica a su fórmula para la covarianza AR(1), da como resultado

$$ \frac{{\sigma'}^2}{1-{\theta'}^2}{\theta'}^{|n|} = \frac{\sigma^2}{2\theta}\frac{1-e^{-2\theta\delta t}}{1-e^{-2\theta\delta t}}{e^{-\theta\delta t}}^{|n|} = \frac{\sigma^2}{2\theta}e^{-\theta\delta t|n|} $$

Ahora bien, si en lugar de eso dejas que $t-s \to n/\delta t$ debería tener su respuesta.

Creo que como tu derivación depende de una aproximación (es decir, de la discretización), tu respuesta sería una aproximación.

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Hay dos covarianzas diferentes, una condicional (normalmente en $0$ ), y una incondicional. El de la Wikipedia calcula el condicional

$$\begin{align} cov(x_s, x_t) &= E((x_s - E(x_s))(x_t-E(x_t))) \\&= E\left(\int_{\color{red}0}^s\sigma e^{\theta(u-s)}\,\mathrm d W_u \int_{\color{red}0}^t\sigma e^{\theta(v-t)}\,\mathrm d W_v\right) \\&= \sigma^2 e^{-\theta(s+t)}E\left(\int_{\color{red}0}^s e^{\theta(u)}\,\mathrm d W_u \int_{\color{red}0}^t e^{\theta(v)}\,\mathrm d W_v\right) \\&= \frac{\sigma^2}{2\theta} e^{-\theta(s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)} \color{red}{- 1}) \\&= \frac{\sigma^2}{2\theta}(e^{-\theta|s-t|} \color{red}{- e^{-\theta(s+t)}}) \end{align}$$

Cambiar el límite inferior a $-\infty$ , hace que el término rojo desaparezca.