Encuentre todos $4 \times 4$ matrices reales tales que $A^3=I$

Question

Encuentre todos $4 \times 4$ matrices reales tales que $A^3=I$ .

El polinomio mínimo debe dividir $x^3-1$ . Como la matriz es real, el polinomio mínimo debe ser $x-1$ ou $x^3-1$ (es decir, si contiene una de las raíces complejas de la unidad, debe contener el conjugado). Por supuesto, ya sabemos que la matriz identidad satisface esta ecuación. Si $A$ es cualquier otra no-identidad real que satisface las propiedades anteriores, entonces su polinomio característico debe ser $(x-1)(x^3-1)$ por un razonamiento similar al anterior. Esto es lo más lejos que he podido llegar.

edit: Se me escaparon algunos casos, como se señala en los comentarios. El polinomio mínimo también puede ser $x^2+x+1$ que da lugar a posibles polinomios característicos adicionales.

Answer 1

Desde $p(A) = 0$ donde $p(x) = x^3 - 1 = (x-1) (x^2 + x + 1)$ y $x-1$ y $x^2 + x + 1$ son irreducibles sobre $\mathbb{R}[x]$ entonces $\mathbb{R}^4$ puede descomponerse como una suma directa de subespacios cíclicos para $A$ correspondientes a los polinomios $x-1$ y $x^2 + x + 1$ . Ahora, sabemos que un subespacio cíclico con aniquilador $x-1$ tiene una representación matricial del operador restringido igual a $\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$ y, del mismo modo, un subespacio cíclico con aniquilador $x^2 + x + 1$ tiene una representación matricial del operador restringido igual a $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ . Por lo tanto, cualquier $4 \times 4$ matrices $A$ con $A^3 = I$ es similar a uno de: $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.$$ (Y a la inversa, está claro que cualquier matriz similar a una de estas matrices satisface $A^3 = I$ .)