Tengo μ una medida compleja de borel en (R) cuya transformada de Fourier llega a cero como ξ va a ∞ . Tengo que demostrar que |μ| (singleton) = 0. ¿Debo acercarme a μ por una secuencia de medidas absolutamente continuas (a la medida de Lebesgue) en la topología de estrella débil, o hay una forma más sencilla de hacerlo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?El lema/teorema de Wiener dice que
∑x∈R|μ({x}|2=lim
para toda medida de Borel finita en \mathbb{R} (el teorema se formula a veces para medidas en el toro, o en \mathbb{R}^n o algún otro grupo abeliano localmente compacto. Por desgracia, también hay muchos teoremas no relacionados que llevan este nombre).
A partir de aquí sólo hay que aplicar el teorema de l'Hospital (o jugar con los límites como se quiera) y obtener que \mu no tiene átomos. Las respuestas anteriores aluden a este teorema. Puedes encontrarlo en "An Introduction to Harmonic Analysis" de Katznelson, por ejemplo.
Voy a tratar de escribir mis sugerencias asumiendo que está trabajando en \Bbb R^{n}.
Esto es lo que yo sugeriría, aunque no constituye una solución completa. Escriba
\mu=\mu_{a}+\mu_{sc}+\mu_{d}
donde \mu_{a} es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, \mu_{sc} es singular con respecto a la medida de Lebesgue, pero no es atómica y \mu_{d} es puramente atómico.
Tenemos que argumentar que \mu_{d}=0. Por Riemann Lebesgue, sabemos que
\widehat{\mu_{a}}(\xi)\to 0 como |\xi|\to \infty.
Escribe \mu_{d}=\sum_{n}c_{n}\delta_{x_{n}} con x_{n}\ne x_{m} pour n\ne m.
Entonces \widehat{\mu_{d}}(\xi)=\sum_{n}c_{n}e^{2\pi i \xi\cdot x_{n}}
et
\frac{1}{2^{d}T_{1}\cdots T_{d}}\int_{-T_{d}}^{T_{d}}\cdots\int_{-T_{1}}^{T_{1}}|\widehat{\mu_{d}}(\xi)|^{2}\prod_{j}d\xi_{j}= \sum_{n}|c_{n}|^{2}+\frac{1}{2^{d}T_{1}\cdots T_{d}}\sum_{n\ne m}c_{n}\overline{c_{m}}\sin(2\pi (x_{n}-x_{m})T)
de aquí se puede ver que la media anterior tiende a \sum_{n}|c_{n}|^{2} como T_{j}\to \infty para todos j, esto hace imposible que \widehat{\mu_{d}}(\xi)\to 0 como |\xi|\to \infty.
Ahora bien, si se puede hacer un análisis sobre \widehat{\mu_{sc}}(\xi) como |\xi|\to \infty, esto puede resolver el problema.
En una dimensión se puede intentar escribir \mu_{sc}=dF, con F una función continua de variación acotada, puede ser que algún truco de integración por partes funcione aquí pero no lo veo.
Zygmund (Trigonometric Series, Vol. 2, Sección 16.4.19) considera la transformada de Fourier-Stieltjes
\varphi (x)=\frac1{\sqrt{2\pi }}\int\limits_{-\infty }^\infty e^{-ixy}dF(y) y busca condiciones en \varphi bajo el cual F es continua. Si lo he entendido bien, esto es equivalente a tu pregunta. La condición necesaria y suficiente es \int\limits_{-\omega}^\omega |\varphi (\xi )|^2d\xi =o(\omega ),\quad \text{as $ \N - omega \N - a \N - infty $}, o, de forma equivalente \int\limits_{-\omega}^\omega |\varphi (\xi )|d\xi =o(\omega ),\quad \text{as $ \N - omega \N - a \N - infty $}. Ambas condiciones son diferentes de un mero decaimiento de la transformada de Fourier en el infinito.
Creo que tengo una buena:
clemente, es suficiente para demostrar \mu (singleton) = 0. Consideremos la función f_{\epsilon}(x) = \frac{1}{\epsilon} si 0 < x < \infty y 0 en caso contrario.
Obsérvese que como \epsilon va a \infty el límite de la transformada de Fourier de la función anterior es la función característica del singleton 0.
escribir \mu (a) como una integral, DCT, relación de dualidad, y un pequeño cambio de variable hace mágicamente el truco.