Transitividad de una relación binaria

Question

Dada: El dominio de la relación $R$ es $\{a, b, c, d\}.$ $R = \{(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)\}.$

¿Por qué esta relación no es transitiva? Según mi libro de texto,

Por definición

R es transitivo si y sólo si para cada tres elementos x, y, z A, si xRy e yRz, entonces también debe ser el caso que xRz.

y R no es transitivo cuando

La situación que no se permite en una relación transitiva es que haya una x, y, y z , tal que xRy y yRz sean verdaderas pero xRz no sea no es verdadera. Obsérvese que la definición de transitivo es un universal universal. Si cualquier x, y, y z en el dominio tienen el patrón prohibido de xRy e yRz pero no xRz, entonces la relación no es transitiva. Si no hay ninguna triple x, y, y z que tiene el patrón prohibido, entonces la relación es transitiva.

Pensé que era transitivo porque dice "para cada tres elementos ", si $xRy$ y $yRz$ entonces $xRz$ . Como no hay tres elementos en los que la situación $xRy$ y $yRz$ incluso se produce, supuse que se consideraría transitiva.

Además, el segundo extracto afirma que "Si no hay triple x, y, y z que tiene el patrón prohibido, entonces la relación es transitiva". Y por lo que veo, no hay triple con el patrón prohibido.

Estoy confundido.

Answer 1

Tenga en cuenta que la definición no no decir "por cada tres distintivo elementos". En el ejemplo dado, con $x:=a$ , $y:=b$ y $z:=a$ vemos que $xRy$ y $yRz$ pero no $xRz$ (es decir, $aRb$ y $bRa$ pero no $aRa$ ).

Answer 2

Es no transitivo, porque tiene $a\,R\,b$ y $b\,R\,a,$ y por transitividad eso implica $a\,R\,a.$ Pero $a\,R\,a$ no es cierto.