Determinar $f$ cuando $f(t)+f(t^{-1}) = g(t+t^{-1})$

Question

Tengo la siguiente ecuación:

$f(t)+f(t^{-1}) = g(t+t^{-1})$ ,

donde $g$ es una función conocida. El objetivo es determinar $f$ . Además, supongamos que $t>0$ y $f,g \geq 0$ . Mi intuición dice que $f$ debe ser

$\frac{1}{2}g(t+t^{-1})$ es decir $f(t)=f(t^{-1})$ .

Answer 1

Resulta que $f$ no está determinada de forma única por esta ecuación funcional. Por ejemplo, su solución propuesta $$f(t)=\frac{g(t+t^{-1})}{2}$$ satisface la ecuación funcional deseada, pero también lo hace la función $$f(t)=\frac{g(t+t^{-1})}{2}+o(t-t^{-1})$$ ...donde $o$ es cualquier función impar.

Answer 2

Esta ecuación no da suficiente información para determinar $f$ . Para cada $t$ tal que $t\neq t^{-1}$ , $f(t)$ y $f(t^{-1})$ puede ser cualquier par de números cuya suma sea $g(t+t^{-1})$ . (Nótese que las restricciones dadas por los diferentes valores de $t$ son esencialmente independientes entre sí, ya que la única vez que se superponen es en el caso de $t$ y $t^{-1}$ pero luego dan exactamente la misma restricción).