A producto cruzado es una operación bilineal que, dados dos vectores de entrada $x, y$ produce un vector $x \times y$ ortogonal a ambos, cuya longitud es igual al área del paralelogramo atravesado por $x$ y $y$ .
Los componentes de un producto cruzado pueden expresarse mediante Notación Einstein como $(x\times y)_i = X_{ijk} x_j y_k$ , donde $X_{ijk}$ es un tensor de rango 3 totalmente antisimétrico que satisface la siguiente condición de área:
$$X_{ijm} X_{mkl} + X_{jkm} X_{mli} = 2 \delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{ij}\delta_{kl}-\delta_{il}\delta_{kj},$$
donde $\delta_{ij}$ denota el delta de Kronecker.
Es un hecho conocido que los productos cruzados sólo existen en las dimensiones $0, 1, 3$ y $7$ . Mi pregunta es esencialmente qué tan cerca puede estar un tensor totalmente antisimétrico dado de un producto cruzado en dimensiones distintas a éstas. Una forma de medir para algunos $X_{ijk}$ el incumplimiento de la condición de superficie anterior es establecer
$$\Delta_{ijkl} = (X_{ijm} X_{mkl} + X_{jkm} X_{mli}) - (2 \delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{ij}\delta_{kl}-\delta_{il}\delta_{kj}),$$
y definir el escalar $\Delta = \Delta_{ijkl} \Delta_{ijkl}$ . En términos prácticos, $\Delta$ puede considerarse como el valor medio de la desviación al cuadrado $(|x\times y|^2-\operatorname{area}(x,y)^2)^2$ sobre todos los vectores unitarios $x, y \in S^{n-1}$ , donde $\times$ es el producto bilineal asociado a $X_{ijk}$ .
Tenga en cuenta que si $X_{ijk}$ define un verdadero producto cruzado, tenemos claramente $\Delta(X_{ijk}) = 0$ ; de lo contrario, $\Delta(X_{ijk})$ tomará algún valor positivo (ya que es una suma de cuadrados). Ahora definimos la desviación media mínima $\Delta_{\mathrm{min}}$ minimizando $\Delta$ sobre todos los posibles tensores de rango 3 totalmente antisimétricos, es decir
$$\Delta_{\mathrm{min}} = \min_{X_{ijk} \in \Lambda^3\mathbb{R}^n} \Delta(X_{ijk}).$$
Esta cantidad sólo depende de la dimensión $n$ . Aquí hay una tabla con algunos valores que he calculado en Mathematica (lamentablemente los cálculos tardan más de media hora en completarse después de $n=12$ . Puedo proporcionar mi código si es necesario):
$n$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$8$
$9$
$10$
$11$
$12$
$13$
$14$
$\Delta_{\mathrm{min}}(n)$
$0$
$0$
$6$
$0$
$36$
$\frac{672}{11}$
$72$
$0$
$84$
$\frac{351}{2}$
$269.207$
$326.737$
$448.972$
$528$
$588$
Sorprendentemente, los valores hasta $n=9$ resultan ser números racionales (al menos con una muy buena aproximación). Sin embargo, para $n\ge 10$ no parece que esto se mantenga necesariamente, por lo que probablemente no exista una buena fórmula para la desviación media mínima en función de $n$ . En lugar de eso, me gustaría preguntar por sus propiedades de crecimiento.
Mis preguntas son:
- ¿Existe algún límite inferior asintótico (no trivial) para $\Delta_{\mathrm{min}}(n)$ ?
Obsérvese que existe un límite superior evidente $\Delta_{\mathrm{min}}(n) \le 6n(n-1)$ que se obtiene fijando $X_{ijk}$ a cero. Al parecer, los valores reales tienden a ser cercanos a la mitad, es decir, $\Delta_{\mathrm{min}}(n) \simeq 3n(n-1)$ parece que se mantiene.
- Es $\Delta_{\mathrm{min}}(n)$ no decreciente para todos $n>7$ ? Si no es así, ¿cuáles son las dimensiones en las que disminuye?
EDIT: Aquí está el código de Mathematica que estoy usando:
n = 5; (* the dimension is specified here *)
xarray =
SymmetrizedArray[
pos_ :> Subscript[x, StringJoin[ToString /@ pos]], {n, n, n},
Antisymmetric[All]];
x2 = (Activate@
TensorContract[
Inactive[TensorProduct][xarray, xarray], {{1, 4}}])/2;
id2 = 2 Transpose[
Symmetrize[TensorProduct[IdentityMatrix[n], IdentityMatrix[n]],
Antisymmetric[{1, 3}]], {1, 3, 2, 4}];
delta = Flatten[
Flatten /@ (x2 - id2 + Transpose[x2 - id2, {2, 3, 4, 1}])];
deltan = N[DeleteCases[delta, 0]];
AbsoluteTiming[
NMinimize[Total[Map[#^2 &, deltan]], Variables@Normal[xarray],
WorkingPrecision -> 4]]
(* output should be: { Computation time, { minimum Delta, X_ijk that achieves it } } *)
(* increasing WorkingPrecision gives more digits, but takes more time *)EDIT 2: He conseguido que funcione para $n=13$ y $n=14$ al simplificar previamente la función de minimización y dejarla funcionando toda la noche; he actualizado la tabla con estos dos nuevos valores. Curiosamente, vuelven a ser números racionales.
No tengo el $n=15$ caso todavía, pero siguiendo la discusión en los comentarios he calculado $\Delta(X^{\mathbb{S}}_{ijk})$ para un solo $15$ -tensor de dimensiones $X^{\mathbb{S}}_{ijk}$ definido de la siguiente manera: si $a$ y $b$ son dos puramente imaginarios sedeniones y $\Im ab$ denota la parte imaginaria de su multiplicación, tenemos $(\Im ab)_i = X^{\mathbb{S}}_{ijk} a_j b_k$ .
Dado que todas las álgebras de Cayley-Dickson anteriores (números reales $\mathbb{R}$ , números complejos $\mathbb{C}$ , cuaterniones $\mathbb{H}$ y los octoniones $\mathbb{O}$ ) satisfacen $\Delta(X^{\mathbb{R}}_{ijk})=\Delta(X^{\mathbb{C}}_{ijk})=\Delta(X^{\mathbb{H}}_{ijk})=\Delta(X^{\mathbb{O}}_{ijk})=0$ En principio, es razonable pensar que $\Delta(X^{\mathbb{S}}_{ijk})$ también será relativamente pequeño, quizás un mínimo local. Sin embargo, resulta que
$$\Delta(X^{\mathbb{S}}_{ijk})=1152,$$
que casi satura el límite $6\cdot15(15-1)=1260$ . Así que, en contra de mis expectativas, las sedeniones fracasan estrepitosamente a la hora de definir algo parecido a un producto cruzado. Incluso un simple reescalado $\Delta(0.5 X^{\mathbb{S}}_{ijk}) = 891$ lo hace mejor.
