Problema de la ecuación de Cauchy-Riemann.

Question

Dejemos que $f(z) = 2x + ixy^2$

Traté de usar la ecuación C-R para resolver esto y obtuve

$$ \frac{du}{dx} = 2 \quad\quad\quad \frac{du}{dy} = 0 \quad\quad\quad \frac{dv}{dx} = y^2 \quad\quad\quad \frac{dv}{dy} = 2xy $$

¿Qué debo hacer a continuación para demostrar que la ecuación C-R sigue siendo válida o no?

Answer 1

Se supone que debes argumentar a favor de qué $x,y$ las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen y, además, si la función es analítica (u holomorfa, si ese es el término que utilizas) en función del dominio en el que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Estableciendo las ecuaciones de Cauchy-Riemann, tenemos

$$\frac{du}{dx} = \frac{dv}{dy} \Longrightarrow 2 = 2xy$$

y

$$\frac{du}{dy} = -\frac{dv}{dx} \Longrightarrow 0 = -y^2.$$

De la segunda ecuación, vemos que $y$ debe ser $0$ . ¿Puede entonces resolverse la primera ecuación? ¿Qué puedes concluir sobre $f$ ?