En realidad, $I_n$ y $I_v$ no son sólo subespacios del espacio vectorial $K[x]$ : $K[x]$ es un anillo conmutativo y $I_n, I_v$ son ideales de este anillo, es decir, son estables para la suma y para la multiplicación por cualquier elemento del anillo (no sólo para la multiplicación escalar).
De hecho, si $p\in I_v$ y $f\in K[x]$ entonces $(fp)(v)=f(v) p(v)=f(v)\cdot 0=0$ Por lo tanto $fp\in I_v$ y de forma similar para $I_n$ .
La división euclidiana permite caracterizar estos ideales: podemos dividir $p(x)$ por $x-v$ Tenemos $$p(x)=q(x) (x-v) +r\quad(r\in K,\enspace q(x)\in K[x]).$$
De esta igualdad se deduce que $p\in I_v$ es decir $p(v)=0$ si y sólo si $r=0$ . En otras palabras, $p\in I_v$ si y sólo si $p$ es divisible por $x-v$ .
De la misma manera, $p\in I_n$ si y sólo si $p$ es divisible por $x-n$ .
Así que si $p\in I_n\cap I_v$ podemos decir primero $p$ es divisible por $x-v$ lo que significa que existe un polinomio $q$ tal que $p(x)=q(x) (x-v)$ . Segundo, $p(n)=q(n)(n-v)=0$ . Desde $n\neq v$ , $n-v\neq 0$ para que $q(n)=0$ , lo que significa que $q(x)=r(x)(x-n)$ para algún polinomio $r$ . Por lo tanto, $$p(x)=r(x)(x-n)(x-v).$$ A la inversa, cualquier polinomio que sea divisible por $(x-n)(x-v)$ pertenece a $I_n\cap I_v$ , lo que demuestra que esta intersección es diferente de $\{0\}$ para que la suma $I_n+I_v$ es no directo.
Otra prueba
En cualquier anillo conmutativo $R$ si dos ideales $I$ y $J$ son tales que $I+J=R$ y la suma es directa, los ideales son generados por idempotentes ortogonales es decir, existen elementos $e\in I$ , $f\in J$ tal que
- $I=Re$ , $J=Rf$ .
- $e^2=e, \quad f^2=f$ .
- $ef=0,\quad 1=e+f$ .
Sin embargo, en el ring $K[x]$ que es un dominio integral, no existen más idempotentes que $0$ o $1$ .
