Pregunta del examen TMUA de Series Geométricas. ¿En qué me he equivocado?

Question

La suma hasta el infinito de una progresión geométrica es 6. La suma al infinito de los cuadrados de cada término de la progresión es 12. Halla la suma al infinito de los cubos de cada término de la progresión. A 8 B 18 C 24 D 216/7 E 72 F 216

Digamos que a = primer término y r = relación común. Entiendo cómo el esquema de puntuación derivó su respuesta, pero no estoy seguro de lo que hice incorrectamente en mi cálculo.

Así que lo conseguí:

$$\frac{a}{1-r} = 6$$ y $$\frac{a}{1-r^2} = 12$$

$6(1-r) = 12(1-r^2)$

$12r^2 - 6r - 6 = 0$

$2r^2 - r - 1 = 0$

$(2r + 1)(r - 1) = 0$
porque |r| < 1 $$\therefore r = -1/2$$ así que $a = 6 - 6(\frac{-1}{2})$

$$a = 9$$

La suma al infinito de los cubos de cada término: $$\frac{a}{1-r^3}$$

$$\frac{9}{1 - (\frac {-1}{2})^3} = \frac {9}{1 + (\frac{1}{8})} = 8$$

Sin embargo, la respuesta es 216/7. No sé en qué me he equivocado en el cálculo. Supongo que no debería haber multiplicado para obtener $a = 12(1 - r^2)$ porque r podría tomar dos valores? ¿Uno es el valor correcto y el otro es el signo opuesto al valor correcto?

Answer 1

La serie original es $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$ y su suma es efectivamente $\frac a{1-r}$ . Pero la serie de los cuadrados es $a^2+a^2r^2+a^2r^4+a^2r^6+\cdots$ y su suma es $\frac{a^2}{1-r^2}$ .