Parametrizar un conjunto

Question

Estoy tratando de parametrizar el siguiente conjunto $$\left\lbrace\, r\left(\cos\left(\alpha\right),\sin\left(\alpha\right)\right) \;\middle\rvert \quad 0\leq\alpha\leq2\pi, \quad 0<r\leq 1,\quad \tfrac{1}{r}-\alpha=2k\pi\ \,\text{ for some } k\,\right\rbrace$$ La curva correspondiente $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2$ probablemente se parezca a una espiral arquimédica, ya que he trabajado con los componentes por separado, es decir, fijando un $\alpha$ o $r$ . En general, conozco el proceso de encontrar una expresión paramétrica, pero la última condición, es decir $1/r-\alpha$ siendo un múltiplo de $2\pi$ me hace dudar de qué hacer.

Answer 1

Suponiendo que el $k$ son los enteros $1,2,\dots,$ la curva $\gamma:[0,\infty)\to \mathbb R^2$ dado por

$$\gamma (t) = \frac{1}{2\pi +t}(\cos t,\sin t)$$

parece parametrizar su conjunto.

Tenga en cuenta que el conjunto $S$ que has descrito no es compacto. Así que no puede haber un mapa continuo desde un intervalo cerrado y acotado hacia $S.$ Si quiere incluir $(0,0)$ en el conjunto, que puede ser natural, entonces podemos cambiar las variables y encontrar una parametrización razonable $\varphi :[0,1] \to S\cup \{(0,0\}.$

Answer 2

La última condición dice $\alpha = r^{-1} + 2\pi k$ para algún número entero $k$ que tiene un número infinito de soluciones para $\alpha$ , espaciados uniformemente por $2\pi$ . Cualquier solución de este tipo genera el mismo punto $r(\sin(\alpha),\cos(\alpha))$ , a saber $r(\sin(r^{-1}),\cos(r^{-1}))$ y al menos una de las soluciones satisface $0\leq \alpha \leq 2\pi$ , por lo que este punto hace yacen en el conjunto.

Por lo tanto, para cualquier $r$ se obtiene un punto único $r(\sin(r^{-1}),\cos(r^{-1}))$ en el conjunto. Así que su conjunto es sólo $\{r(\sin(r^{-1}),\cos(r^{-1})) \;| \; 0<r\leq 1\}$ .

Answer 3

$$\dfrac{1}{r} - \alpha = 2 k \pi$$

$$\sin(\dfrac{1}{r} - \alpha) = 0$$

Cualquier otra función circular trigonométrica de periodo $2\pi$ podría ser elegido.

$$\sin(\dfrac{1}{r} ) \cos \alpha= \cos(\dfrac{1}{r} ) \sin \alpha$$

$$\tan(1/r) = \tan \alpha$$

$$1/r = \alpha, 1/r = \pi+ \alpha$$

y otros co-terminales superpuestos o coincidentes para todos los enteros $k$ las formas espirales son periódico o auto-repetición como perteneciente a un conjunto infinito cíclico polar. Para cada $r$ hay un número infinito de $\alpha^{'}$ s.

Para la función arctan tenemos $x,y,r$ de signo contrario en el tercer cuadrante en comparación con el primer cuadrante.

Así que tenemos dos soluciones. Las ecuaciones polares

$$r\alpha = +1, r\alpha = -1$$

son las soluciones representadas por el dos espirales hiperbólicas mostrada:

Si se requiere una parametrización separada para las dos curvas, simplemente tenemos

$$r=1/t, \alpha = +t\, ;\, r=1/t, \alpha = -t\,;$$

La espiral magenta tiene mayor $\alpha$ dominio, se superpone a la línea azul debido al trazado como un segundo gráfico.

A partir de esta solución se puede elegir cualquier $(\alpha,\, r)$ del conjunto como se desee.