Pregunta sobre ecuaciones diferenciales, ¿por qué no hay una constante para $x$ ?

Question

La siguiente ecuación tiene la forma $$\frac{dy}{dx}=f(y)$$ Resolver la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dx}=2+3y$$

$$\frac{dy}{dx}=2+3y$$ $$dy=(2+3y)dx$$ $$\frac{dy}{2+3y}=dx$$

entonces integré ambos lados.. $$\int\frac{dy}{2+3y}=\int{dx}$$

y esto es lo que creo que deberías conseguir pero el libro dice lo contrario... $$\frac{1}{3}ln(2+3y)+c = x+c$$

Sé que me equivoco, pero ¿por qué no hay ninguna constante cuando integramos la RHS? Supongo que hay un 1 delante del $dx$ y cuando se integra se obtiene $x+c$

Si alguien pudiera explicar por qué se lo agradecería.

Answer 1

Los dos lados pueden tomar diferentes constantes, por ejemplo $c_1$ y $c_2$ . Pero entonces puedes mover ambas constantes a un lado y llamar a $c = c_1 - c_2$ que también puede tomar cualquier valor.

La lección aquí es que $c_1$ y $c_2$ pueden ser iguales o diferentes, al contrario de lo que dice su formulario.

Answer 2

Formalmente, esta solución debería ser $$\frac{1}{3}\ln(2+3y)+c_1=x+c_2.$$ Pero también podemos escribir esto $$\frac{1}{3}\ln(2+3y)=x+c_2-c_1.$$ Pero podemos definir una nueva constante $c=c_2-c_1$ y escribir esto $$\frac{1}{3}\ln(2+3y)=x+c.$$ Normalmente, nos saltamos todos los pasos intermedios y saltamos directamente al final.