Funciones de densidad de masa: ¿cómo se produce la densidad de masa en los puntos?

Question

A menudo hablamos de la densidad de masa, la densidad de carga y otras funciones similares: $\rho(x,y)$ para placas ultrafinas y $\rho(x,y,z)$ para objetos tridimensionales. Las unidades para la salida de estas funciones dicen masa o carga/unidad de volumen como $\frac{kg}{m^3}$ o $\frac{C}{m^3}$ . No puedo comprender una densidad en un solo punto.

Sospecho que cuando decimos masa por unidad de volumen "en un punto", nos referimos a la masa contenida en el volumen inmediatamente alrededor del punto. Aquí decimos "inmediatamente alrededor" en un sentido de cálculo para que el volumen se acerque a cero. De este modo, el conjunto de todos los puntos sigue siendo el objeto completo.

¿Es esto correcto? ¿O me he equivocado?

Answer 1

Cuando decimos que la densidad de masa es $\rho(x,y,z)$ se entiende que la masa dentro de cualquier región finita $R$ viene dada por $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ En otras palabras, especificando la densidad de masa $\rho(x,y,z)$ es una forma concisa de describir la función que toma una región $R$ como entrada y devuelve la masa $M(R)$ en esa región como salida.

La región $R$ puede ser arbitrariamente pequeño, así que tu intuición va por buen camino. Si tomamos $R$ para ser un punto , entonces la masa $M(R)$ es cero, no importa lo grande que sea la densidad de masa (siempre que sea finita).

Answer 2

Básicamente, tienes razón. La masa contenida en un punto (cuando hablamos de materiales continuos) es cero.
Sin embargo, sí podemos tomar una pequeña cantidad de longitud, área o volumen, descrita matemáticamente como $dx$ , $dA$ o $dV$ acercándose a cero. Se denominan elementos de longitud, área o volumen. Para encontrar la masa completa hay que sumar todos los productos de todas las densidades de masa infinitamente pequeñas con los elementos de longitud, área o volumen en todos los puntos de la masa en el caso 1, 2 o 3. Esta suma se convierte en una integral de los productos de las densidades $\rho$ con los tres elementos diferentes (suponiendo que $\rho$ es independiente de la posición en $x$ , $A$ o $V$ ):

$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$

para una masa en una línea,

$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$

para una masa en una superficie, y

$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$

para una masa en un volumen.

Si la densidad de la masa depende de la posición en la masa, basta con sustituir $\rho$ por $\rho (x)$ , $\rho (A)$ y $\rho (V)$ .

Answer 3

La sustancia (que compone la masa) es discreta. Tenemos moléculas, átomos, partículas más pequeñas, etc, ...

También hay indicios de que el propio espacio es discreto (véase sobre la longitud de Planck), pero no lo sabemos con seguridad.

Por otra parte, a veces (casi siempre, de hecho) es útil aproximar la sustancia como suave y homogénea en escalas suficientemente pequeñas y utilizar todo el aparato de cálculo que tenemos disponible que utiliza números reales.

Así es como la densidad se convierte en un campo escalar.

Answer 4

La densidad de masa en un punto se define de dos maneras:

• el límite de la densidad de masa media en un volumen que contiene el punto a medida que el volumen disminuye hasta cero, y
• como un campo que se integra para dar la masa.

Entender cómo y cuándo estas dos definiciones son la misma cosa requiere un poco de teoría de la medida, momento en el que se aprende cómo no son la misma cosa.

Ejemplo de que son la misma cosa. Supongamos que la densidad de masa (campo) es una constante $1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$ en cada punto considerado. Sea $x$ sea un punto así. Calculemos el límite de las densidades medias de los volúmenes esféricos (para simplificar) para las esferas centradas en $x$ . Sea $r$ sea el radio en $\mathrm{cm}$ . El volumen, $V$ y la masa, $m$ son \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}

(Las unidades explícitas pueden hacer que esta masa parezca una densidad. Recordemos que " $r$ " en " $r^3$ " tiene unidades de distancia que anulan las unidades de distancia en el denominador de las unidades explícitas).

Entonces la densidad de masa en $x$ es $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$ . Obsérvese que debe tomar el límite como $r \rightarrow 0$ . No podemos evaluar la relación entre la masa y el volumen en $r = 0$ ya que eso implica la división por cero. Ahora una gráfica de la función de la que estamos tomando un límite. A partir de la cancelación algebraica (permitida bajo el límite, pero no fuera de éste), esperamos ver una función constante.

El punto $(0,1)$ se omite, porque la división por cero no está definida. Para colar el valor allí, utilizamos un límite. Obsérvese que si el campo de densidad variara (pequeñas fluctuaciones en torno a una densidad media y/o una tendencia a densidades más altas o más bajas lejos de $x$ ) veríamos estas variaciones en la curva. Este modelo tan simple no tiene esas características.

Answer 5

Voy a añadir otro punto de vista, ya que la pregunta sólo parece como algo muy avanzado o que sólo aparece en esa área de la física: Lo que preguntas es precisamente parecido a la paradoja de la flecha de Zenón: https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox

Básicamente, estoy seguro de que estás familiarizado con los derivados, pero no son intuitivo cuando se aplica a cantidades arbitrarias. Ciertamente, podemos hablar de una velocidad media a lo largo de cierta duración t y razonar que al restringir la duración hacia un solo instante de tiempo, obtenemos la velocidad instantánea en un momento dado, una cantidad útil que sabemos que está bien definida.

"¡Pero para tener una velocidad habría que viajar, y no se puede viajar si el tiempo no avanza!" Sí, es el mismo asunto de que no hay una densidad "instantánea" intuitiva (dm/dV) si se mira un punto de masa, pero sin embargo trabajamos con derivadas y funcionan. :)