Electromagnetismo topológicamente masivo

Question

Estoy trabajando con el Lagrangiano dado por

$$S = \int d^3 x (-\dfrac{-1}{4} F_{\mu} F^{\nu} + g \epsilon^{\mu \nu \lambda} A_{\mu} \partial_{\nu} A_{\lambda})$$

donde $\epsilon^{012} = 1$ .

Quiero encontrar el espectro de las excitaciones físicas del campo, específicamente la expansión de los modos del campo y la dependencia de $\omega$ en el vector de onda $\vec{k}$ .

Las ecuaciones de campo que obtengo vienen dadas por

$$\partial_{\nu} F^{\mu \nu} = 2 g \epsilon^{\alpha \nu \mu} (\partial_{\nu} A_{\alpha})$$ . Ahora elijo la galga $A_t = 0$ y fijar el gálibo residual mediante $\partial_i A^i = 0$ . Así, las ecuaciones de movimiento se convierten en

$$\partial_2 A_1 = \partial_1 A_2,$$ $$\partial^2 A^1 = -2 g \partial_0 A_2$$ $$\partial^2 A^2 = + 2 g \partial_0 A_2$$

Ahora en el espacio del momento, si uso estas 3 ecuaciones obtengo $$(-\omega^2 + \vec{k_1}^2 + \vec{k_2}^2 - 2 i g \omega k_2/ k_1) A_1 = 0$$

y $$(-\omega^2 + \vec{k_1}^2 + \vec{k_2}^2 + 2 i g \omega k_1/ k_2) A_2 = 0$$

Mi problema es que no consigo una partícula masiva, y las relaciones de dispersión para $A_1$ y $A_2$ son diferentes. ¿Cómo puedo resolver mi error? Gracias.

Answer 1

Si empiezas con las ecuaciones anteriores que has escrito, tienes

$$(-\omega^2 + \vec{k_1}^2 + \vec{k_2}^2 - 2 i g \omega k_2/ k_1) A_1 = 0$$

y $$(-\omega^2 + \vec{k_1}^2 + \vec{k_2}^2 + 2 i g \omega k_1/ k_2) A_2 = 0$$

Ahora comparando ambos obtenemos

$$k_1^2 + k_2^2 = 0$$ y $$-\omega^2 = 2 i \omega k_2 g/ k_1$$ y $$-\omega^2 = -2 i \omega k_1 g/ k_2$$

lo que implica $\dfrac{i\omega k_1}{2g}=k_2$ y $\dfrac{-i\omega k_2}{2g}=k_1$

Ahora podemos insertar las sustituciones anteriores en $k_1^2 + k_2^2 = 0$ para conseguir

$$\omega^2 = (2g)^2.$$

De ahí que se obtenga un fotón masivo.

EDIT: La condición $k_1^2 + k_2^2 = 0$ puede parecer incómodo, se obtiene debido a su elección de calibre.