¿Es X un binomio negativo? ( Lanzamiento de dados)

Question

Se lanzan dos dados de forma independiente hasta que cada pareja haya aparecido al menos una vez. Encuentra el número esperado de lanzamientos necesarios y la desviación estándar de este número de lanzamientos.

Mi intento

Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de lanzamientos necesarios hasta que cada par aparece al menos una vez. Sea $X_1$ sea una variable aleatoria que cuente el número de lanzamientos hasta que aparezca la primera pareja "nueva", $X_2$ cuenta el número de lanzamientos adicionales, después del primer par "nuevo" hasta que aparezca el segundo par "nuevo" y así sucesivamente hasta $X_{36}$ . Entonces,

$$X=X_1+X_2+...+X_{36}$$

Podemos ver que cada $ X_i$ es una variable aleatoria geométrica con $p=\frac{1}{36}$ (que cuentan el número de ensayos).Y como los lanzamientos son independientes, pensé que podía decir que son independientes. Pero no estoy seguro de la última afirmación. Si efectivamente son independientes, podría decir que $X$ es binomio negatove, ¿verdad?

Gracias de antemano.

Answer 1

$X_i$ es una variable aleatoria geométrica con $p_i = \left(36 - (i - 1)\right)/36$ .

$X_i$ es el número de lanzamientos hasta el siguiente nuevo par; cualquier nuevo cuenta pares. Hasta $X_i$ has observado $i - 1$ pares distintos, y está esperando cualquier de la $36 - (i - 1)$ pares restantes para enrollar.

Por ejemplo, tome $i = 1$ entonces $p_1 = 1$ porque en el primer lanzamiento cualquier par es un nuevo par.

Así que, ¡no! esto no es un binomio negativo. Sí, el $X_i$ son variables aleatorias independientes, pero el $p_i$ no son lo mismo.