Sinopsis
En la obra de Tao Análisis 1 en su prueba de que la secuencia $a_1,a_2, a_3, \dots$ definido por $a_n := 1/n$ es una sucesión de Cauchy, hay una desigualdad con la que no me siento muy cómodo. Resaltaré esta desigualdad debajo de la prueba y daré alguna idea más adelante.
Prueba
Tenemos que demostrar que para cada $\epsilon > 0$ la secuencia $a_1, a_2, \dots$ es eventualmente $\epsilon$ -seguro. Así que dejemos $\epsilon >0$ sea arbitraria. Ahora tenemos que encontrar un número $N \geq 1$ tal que la secuencia $a_N, a_{N+1}, \dots$ es $\epsilon$ -seguro. Esto significa que $d(a_j, a_k) \leq \epsilon$ por cada $j,k \geq N$ es decir $$|1/j - 1/k| \leq \epsilon \text{ for every $ j,k \Nde N $}.$$ Ahora bien, como $j,k \geq N$ sabemos que $0<1/j$ , $1/k < 1/N$ para que $|1/j - 1/k| \leq 1/N$ . Así que es suficiente para $N$ sea mayor que $1/ \epsilon$ .
La desigualdad
La desigualdad que si $0<1/j$ y $1/k \leq 1/N$ es verdadera, entonces $|1/j - 1/k| \leq 1/N$ es verdad no me cuadra. Probablemente sea mi falta de sueño, pero la intuición no está ahí. Sin embargo, he sido capaz de demostrarlo parcialmente (creo, aunque probablemente haya algo mal ya que estoy mentalmente tan incapacitado), y destacaré mi prueba parcial a continuación.
Una prueba parcial de la desigualdad que probablemente sea obvia para la mayoría de las personas que no son yo
Supongamos que $j \geq k$ . Entonces $1/j \leq 1/k$ . Así que $1/N \geq 1/k > 1/k - 1/j = |1/j - 1/k|$ (ya que $1/j - 1/k < 0$ ). Supongamos ahora que $k <j$ . Entonces, con un argumento similar, $1/N \geq 1/j \geq 1/j - 1/k = |1/j - 1/k|$ (no es $1/j \leq 1/N$ ya que ambos $j,k \geq N$ ? Eso espero). Por lo tanto, $|1/j - 1/k | < 1/N$ .
Finale
Como puedes ver, $|1/j - 1/k | < 1/N$ es ligeramente diferente de $|1/j - 1/k | \leq 1/N$ . ¿Qué pasa con mi "prueba"? ¿Por qué mi cerebro está tan desconcertado por esta desigualdad que probablemente ni siquiera es tan importante? ¿Cuál es la intuición para esto?
EDITAR
Ahora me doy cuenta de que simplemente soy pésimo leyendo libros de texto y que Tao estaba insinuando que $0<1/j<1/N$ y $0<1/k<1/N$ eran las dos cosas verdaderas al mismo tiempo wow en realidad soy un desastre ahora mismo. Esto es ahora tan dolorosamente obvio y no puedo creer que pasé como 15 minutos simplemente desconcertado. Muchas gracias por sus amables respuestas.
