Demuestra que un par de números irracionales es la solución de un polinomio cuadrático.

Question

Supongamos que a, b son dos números irracionales tales que ab es racional y a+b es racional. Entonces a, b son la solución de un polinomio cuadrático con coeficientes enteros.

Answer 1

Una pista: $$(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab\,.$$

Answer 2

Supongamos que $a$ , $b$ son dos números irracionales tales que $ab$ es racional y $a+b$ es racional. Entonces $a$ , $b$ son la solución de un polinomio cuadrático con coeficientes enteros.

Prueba:

Porque $a+b$ y $ab$ son racionales, a partir de la definición de un número racional podemos escribir $$a+b = \frac{m}{n}, \quad\mbox{and}\quad ab = \frac{p}{q},$$ donde $m$ , $n$ , $p$ y $q$ son números enteros. Ahora podemos escribir \begin{eqnarray*} (x-a)(x-b) &=& x^2 -(a+b)x + ab\\ &=& x^2 - \frac{m}{n} x + \frac{p}{q} \\ &=& \frac{1}{nq}\left(nq\, x^2 - mq\, x + np\right). \end{eqnarray*} Así que tenemos una cuadrática con coeficientes enteros con coeficientes enteros ( $nq$ , $mq$ y $np$ ), y obviamente las raíces de este polinomio son $a$ y $b$ . Por lo tanto tenemos la prueba.