Si no requiere la topología $T_0$, puede simplemente tomar el trivial de la topología en $\mathbb{R}$.
Si requieren ser $T_0$, entonces debe de ser $T_2$ como sabemos, a partir de la teoría general. El buen argumento de Davide Giraudo (véanse los comentarios al post original), muestra en este caso que cualquier topología $\mathcal{T}$ $\mathbb{R}$ debe contener cada habitual conjunto abierto, que es $\mathcal{T_\mathrm{usual}}\subseteq\mathcal{T}$. Ahora usted puede mostrar, si no he cometido algún error, que la topología usual es el único que funciona, por reductio ad absurdum:
Supongamos que hay algunos $U\in\mathcal{T}$ que no es abierto en la topología usual. Deje $F = U^C$ ser su complemento y deje $M:\mathbb{R}_\mathrm{usual}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser la multiplicación escalar, donde $\mathbb{R}$ está equipado con la topología $\mathcal{T}$ $\mathbb{R}_\mathrm{usual}$ tiene la costumbre de topología. Desde $F$ es cerrado, $M^{-1}(F) =\lbrace(x,y)|\hbox{ }xy\in F\rbrace$ es cerrado y por lo tanto su intersección con la a $\mathbb{R}\times\lbrace1\rbrace$ también está cerrado en la topología producto. Pero $M^{-1}(F)\cap\mathbb{R}\times\lbrace1\rbrace = \lbrace(x,1)|\hbox{ }x\in F\rbrace = F\times\lbrace 1\rbrace$, lo $F$ tendría que ser cerrado en la topología usual. Este no es el caso, por lo que es una contradicción.
Conclusión: no es sólo uno de esos Hausdorff la topología en $\mathbb{R}$, lo usual.
