Teoría de conjuntos ingenua: Corte y Unión

Question

Dado un conjunto X con subconjuntos $A, B$ y $A_m$ . Ya conocía la siguiente igualdad:

$$B \cap (A \cup A_m) = (B \cap A) \cup (B \cap A_m) $$

Pero acabo de ver la siguiente igualdad:

$$B \cap (A \cup A_m) = (B \cap A) \cup ((B \setminus A) \cap A_m) $$

Me preguntaba si esto es válido en general y, si es así, cuál es la prueba de ello.

Answer 1

Sí, eso es válido en general. Es porque $$B=(B\cap A)\cup (B\setminus A)$$ para que $$B\cap A_m=(B\cap A\cap A_m)\cup ((B\setminus A)\cap A_m),$$ y después de tomar la unión de ésta con $(B\cap A)$ Podemos olvidarnos de la $(B\cap A\cap A_m)$ porque es redundante.

Answer 2

Se mantiene en general.

$(B\cap A_m) = ((B\cap A)\cap A_m) \cup ((B\backslash A)\cap A_m) $ por partición $B$ en $B\cap A$ y $B\backslash A$ .

Por eso:

$$B \cap (A \cup A_m) = (B \cap A) \cup ((B\cap A)\cap A_m) \cup ((B\backslash A)\cap A_m)$$

Y como $((B\cap A)\cap A_m)\subset B\cap A $ obtendrá el resultado.