Demuestra esta serie que involucra a la función de Bessel de primer tipo

Question

Me encontré con esta serie al resolver una ecuación de Poisson dependiente del tiempo utilizando la expansión en serie

$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\alpha_k J_1(\alpha_k)}=\frac{1}{2} $$ donde $\alpha_k$ es el $k$ -raíz de $J_0(x)$ . Puedo confirmarlo numéricamente, pero quiero probarlo. Se agradece cualquier ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Integrar $g(z)=\frac{1}{2 \pi i z J_0(z)}$ sobre un gran rectángulo con el cero como origen. Puedes utilizar el hecho de que $J_0(z)\sim e^{\mp iz}/\sqrt{z}$ como $\Im(z)\rightarrow\pm\infty$ para demostrar que las contribuciones del contorno desaparecen en el límite de un rectángulo infinito. Esto significa que la suma de todos los residuos es sólo $0$ . $$ \oint g(z)=0=\text{res}(g(z=0))+2\sum_{k=1}\text{res}(g(z=\alpha_k)) $$ Nótese que el factor 2 anterior se debe a la simetría de los ceros de Bessel $J_0(x)=0\rightarrow J_0(-x)=0$ y que todos los polos son simples.

El cálculo de los resiudos es fácil si se conoce el hecho de que $J_0'(z)=-J_1(z)$ y su resultado es el siguiente: $$ \frac12=\sum_{k=1}\frac1{\alpha_k J_1(\alpha_k)} $$

El enfoque funciona claramente también para los buques de orden superior...