Dejemos que $\bf{G}$ sea un grupo algebraico simple y simplemente conectado sobre $\mathbb{Q}$ . ¿Es cierto que la extensión de la base de $\bf{G}$ en $\bar{\mathbb{F}}_p$ es decir, ${\bf G}\times_{\mathrm{Spec(\mathbb{Z})}}\mathrm{Spec}(\bar{\mathbb{F}}_p)$ es simple y simplemente conectada para todos los casos, excepto para un número finito de p?
Respuesta
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La respuesta a la interpretación "razonable" de su pregunta es "sí". El punto real es que la propiedad de ser "simplemente conectado" en el sentido de los grupos semisimples conectados se caracteriza en términos del dato raíz de la fibra geométrica, y existe una propiedad de "constancia local" para los datos raíz en el entorno de los esquemas de grupos reductores sobre cualquier anillo, basada en última instancia en consideraciones con tori y álgebras de Lie sobre anillos.
( Advertencia : "simplemente conectado" para grupos semisimples conectados en característica positiva tiene nada que ver con la trivialidad del grupo fundamental etale, ya que este último es siempre no trivial para variedades afines lisas de dimensión positiva en característica positiva. Más bien, se define en términos de la ausencia de coberturas centrales isógenas no triviales por otros grupos semisimples conectados, y es muy fácil de verificar para SL $_n$ directamente. Resulta que es equivalente a la trivialidad del grupo fundamental etale en la característica 0, pero eso es un asunto totalmente aparte sin relevancia lógica para la cuestión de las propiedades en característica positiva).
El debate lo aborda desde una perspectiva más amplia. Si lo único que le interesa es SL $_n$ o cualquier otro "grupo clásico simplemente conectado", entonces no se necesita nada más abajo: todos los "grupos clásicos" pueden ser tratados directamente sobre cualquier campo algebraicamente cerrado en sus propios términos, comprobando directamente que los coroots abarcan la red de cocaracteres de un toro maximal, de lo cual "simplemente conectado" es inmediato a través de cómo es definido de una manera libre de características. También por ser "simple": es un ejercicio estándar para los grupos clásicos, y también se caracteriza por la irreductibilidad del sistema de raíces (que puede ser calculado en cada caso clásico).
Ahora, la perspectiva general. Por lo fácil que es "buscar el denominador", si $A$ es un dominio con campo de fracción $K$ y $G$ es un afín $K$ -de tipo finito entonces existe un esquema de grupo no nulo $a \in A$ y un afín $A[1/a]$ -esquema de grupo $\mathbf{G}$ de tipo finito con fibra genérica $G$ . Mucho más grave es que para un múltiplo adecuado no nulo $a'$ de $a$ en $A$ (es decir, pasar a un subesquema abierto denso ${\rm{Spec}}(A[1/a'])$ de ${\rm{Spec}}(A[1/a])$ ) varias propiedades de la fibra genérica como $K$ -se satisfacen con $\mathbf{G}_{A[1/a']} \rightarrow {\rm{Spec}}(A[1/a'])$ .
Entre estas propiedades se encuentran las "fibras geométricamente conectadas" [EGA IV $_3$ 9.7.7(ii)] (esto no es obvio, ya que es falso para meras "fibras conectadas", pero un esquema conectado con un punto racional sobre un campo es automáticamente conectado geométricamente -- un simple ejercicio en el caso de tipo finito que es todo lo que necesita, y [EGA IV $_2$ 4.5.14] en general), la planicidad [EGA IV $_3$ 11.2.6.1(ii)] (aunque para su situación sobre un dominio Dedekind esto es trival ya que plano = libre de torsión sobre una base Dedekind), e incluso la suavidad (mediante el seguimiento de la condición Jacobiana y la dimensión de la fibra en presencia de planitud, o por [EGA IV $_4$ 17.7.8(ii)]. En realidad, es un hecho general (no obvio) que un esquema de grupo relativamente afín sobre un esquema irreducible tiene todas las fibras conectadas si la fibra genérica es conectada, pero esto no es necesario y por tanto lo pasaremos por alto en silencio.
Así que por tal resultado general (o de mano), es "estándar" sobre que $G$ se extiende a un afín suave $A[1/a]$ -sistema $\mathbf{G}$ con fibras (geométricamente) conectadas para algún tipo de $a \in A$ . Con $A = \mathbf{Z}$ esto dice que para cualquier afín liso conectado $\mathbf{Q}$ -grupo $G$ existe un número entero no nulo $N$ tal que $G$ es la fibra genérica de un afín suave $\mathbf{Z}[1/N]$ -grupo $\mathbf{G}$ tal que $\mathbf{G}_{\mathbf{F}_p}$ está conectada (geométricamente) todos los $p \nmid N$ .
Ahora viene el verdadero contenido: si $G$ es reductora (resp. semiparalela, resp. semiparalela y simplemente conectada) entonces lo mismo ocurre con $\mathbf{G}_{\mathbf{F}_p}$ para todos los casos, excepto para un número finito de $p \nmid N$ ? Esto no tiene ningún contenido teórico de los números, ya que en realidad es una afirmación sobre esquemas de grupos sobre dominios arbitrarios: si $G$ es un esquema de grupo afín suave sobre un dominio $A$ con el campo de la fracción $K$ tal que todas las fibras están conectadas y si $G_K$ es reductora (resp. semiparalela, resp. semiparalela y simplemente conectada) entonces lo mismo ocurre con las fibras $G_s$ sobre los puntos $s$ en algún subesquema abierto denso $U \subset {\rm{Spec}}(A)$ ? La respuesta es afirmativa (y no tiene nada que ver con ninguna teoría de clasificación para grupos reductores o semisimples sobre campos, ni nada que ver con la existencia de grupos Chevalley): tanto para la reductividad como para la semisimplicidad forman parte de [SGA3, XIX, 2.6], y también se demuestran como Prop. 3.1.9(1) en el artículo "Reductive group schemes" en "Autour des schemas en groupes", no. 42-43 de Panoramas en Síntesis, SMF. En su lugar, se podría argumentar mediante teoremas de clasificación y grupos de Chevalley. Elija su propio veneno.
Una vez hecho esto, y que arreglamos que $G$ es reductor sobre $A$ todas las fibras geométricas tienen el el mismo raíz (por lo que si una fibra está simplemente conectada, entonces también lo están todas las fibras). Esto es elemental: elegimos un máximo $K$ -toro $T_{\eta} \subset G_K$ y una extensión finita $K'/K$ tal que $(T_{\eta})_{K'}$ está dividido. Entonces, sustituyendo $A$ con algunos $A[1/a]$ podemos encontrar un dominio $A' \subset K'$ plano finito sobre $A$ tal que (i) $K' = {\rm{Frac}}(A')$ y (ii) $(T_{\eta})_{K'}$ "se extiende" a una zona cerrada $A'$ -subgrupo $T' \subset G_{A'}$ que es un toro maximal de fibra dividida en $G_{A'}$ . Desde ${\rm{Spec}}(A') \rightarrow {\rm{Spec}}(A)$ es sobreyectiva, podemos renombrar $A'$ como $A$ para que $G$ contiene un $A$ -subgrupo $T$ que es un toro maximal de fibra dividida. Localizando un poco más en $A$ La acción de $T$ en ${\rm{Lie}}(G)$ se descompone entonces en una suma directa de ${\rm{Lie}}(T)$ y módulos libres de rango 1 en los que $T$ actúa a través de un carácter no trivial de la fibra. De manera similar, obtenemos los corrotes como cocaracteres de $T$ en $A$ (localizando un poco más en $A$ aunque no es realmente necesario) utilizando la caracterización intrínseca de los coroots. Así se construye un dato raíz utilizando los grupos de caracteres y cocaracteres de la división $A$ -toro $T$ y como tal identifica los datos de la raíz de todas las fibras. Dado que "simple" para un grupo semisimple conectado sobre un campo algebraicamente cerrado se caracteriza por la irreductibilidad del sistema de raíces, esa propiedad también se extiende desde la fibra genérica geométrica.
