Estoy pasando por Revuz e Yor y estoy atascado en un tecnicismo. Supongamos que $Z$ está acotado y $A$ es continua acotada y creciente con $A_0 =0$ . El objetivo del problema es mostrar $E[ZA_\infty] = E\int_0^\infty E[Z|\mathscr{F}_t] dA_t$ . Tengo problemas para ver por qué $t \longmapsto E[Z|\mathscr{F}_t]$ debe ser medible para un $\omega$ para que la integral de la derecha tenga sentido.
Veo que $E[Z|\mathscr{F}_t]$ es una martingala UI. Así que para $t_n \uparrow t$ tenemos $E[Z|\mathscr{F}_{t_n}] \to E[Z|\mathscr{F}_{t_-}]$ y de forma similar para $t_n \downarrow t$ tenemos $E[Z | \mathscr{F}_{t_n}] \to E[Z|\mathscr{F}_{t_+}]$ a.s. y en $L^1$ . Sin embargo, no veo cómo todo esto va a conducir a la mensurabilidad.
Editar: Supongamos que la filtración es continua derecha. Entonces la línea anterior mira como si significara $E[Z|\mathscr{F}_t]$ es correcto continuo, pero no creo que lo haga. La convergencia se produce de forma casi segura, y el conjunto casi seguro depende de $t$ y la secuencia $t_n \downarrow t$ . Dado que hay un número incontable de $t$ y secuencias $(t_n)$ No veo cómo podemos concluir la continuidad del derecho.
