Encontrar la derivada de la integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

Question

(1 pto) Encuentra la derivada de la siguiente función $$F(x) = \int_{x^4}^{x^7} (2t - 1)^3 dt$$ utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

$F'(x) = \ldots $

( imagen original )

Todavía no tengo muy claro el concepto del Teorema Fundamental del Cálculo, pero creo que el primer paso del teorema nos dará $$2x-1$$ que es la derivada de F(x). Por lo general, se tomaría F(b) - F(a) para resolver el segundo paso, pero desde su sustituido con variables, no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

$G(x)=\int_0^{x}(2t+1)^3dt$ así que $G'(x)=(2x+1)^3$ y $F(x)=G(x^7)-G(x^4)$ tomar derivados $$F'(x)=G'(x^7)7x^6-G'(x^4)4x^3=7(2x^7+1)^3x^6-4(2x^4+1)^3x^3$$

Answer 2

Si $f(t)=(2t-1)^3,a(x)=x^4,b(x)=x^7, F'(x)=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x).$

Answer 3

Dejemos que $G'(x)=(2x-1)^3$ . Entonces $F(x)=\int_{x^4}^{x^7}(2t-1)^3\, \mathrm{d}t=G(x^7)-G(x^4)$ . Por lo tanto, $$F'(x)=7x^6G'(x^7)-4x^3G'(x^4)=7x^6(2x^7-1)^3-4x^3(2x^4-1)^3$$